湖北省随州市随县2020-2021学年九年级上册期末数学试卷（word版 含答案）

2020-2021学年湖北省随州市随县九年级（上）期末数学试卷

1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是

A.  B.
C.  D.

2. 下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 根据下列表格的对应值：判断方程为常数的一个解x的范围是

A.  B.
C.  D.

4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转角到的位置，这时点B恰好落在边DE的中点，则旋转角的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是
    

A. 两个转盘转出蓝色的概率一样大
B. 如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C. 先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D. 游戏者配成紫色的概率为

7. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数为常数，的图象可能是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，D、E分别是的边AB、BC上的点，且，AE、CD相交于点O，若：：9，则与的比是

A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：5

9. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为，点D的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为

A. 12 B. 15 C. 16 D. 20

10. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与y轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有一个实根大于2；④当时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

11. 方程是一元二次方程，则______.
12. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______.
13. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______.
14. 如图，“人字梯”放在水平的地面上，，当梯子的一边与地面所夹的锐角为时，两梯角之间的距离BC的长为周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使为，后又调整为，则梯子顶端A离地面的高度下降了______
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且点P为上的动点，，则AB长度的最大值为______.
    
     

16. 如图，矩形ABCD中，，，点E在边AD上不与A，D重合，将矩形沿CE折叠，使点A，B分别落在点F，G处，有下列结论：
    ①与互余；②若CD平分，则；③若直线FG经过点D，则；④若直线FG交边AD，CD分别于M，N，当为等腰三角形时，五边形ABCNM的周长为
    其中正确结论的序号是______.
17. 计算：
    ；
    
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知关于x的一元二次方程
    求证：这个方程有两个不相等的实数根；
    如果这个方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题.
    
    本次受调查的学生有______ 人，补全条形统计图.
    根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
    在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有，两名男生，，两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，D为上一点，点C在直径BA的延长线上，
    求证：CD是的切线；
    过点B作的切线交CD的延长线于点E，若，，求BE的长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知米，米，参考数据：，
    求AB的长；
    若米，求M，N两点的距离精确到

22. 广州某药店经销甲、乙两种口罩，若甲种口罩每包利润10元，乙种口罩每包利润20元，则每周能卖出甲种口罩40包，乙种口罩20包．突如其来的新冠病毒严重影响人们生活，为了解决人们所需，药店决定把甲、乙两种口罩的零售单价都降价x元．经调查，甲、乙两种口罩零售单价分别每降1元，这两种口罩每周可各多销售10包．
    直接写出甲、乙两种口罩每周的销售量，包与降价元之间的函数关系式；
    药店每周销售甲、乙两种口罩获得的总利润为元；
    ①如果每周甲种口罩的销售量不低于乙种口罩的销售量的，求W的最大值；
    ②若每周总利润元不低于1340元，求x的范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接BD、
    
    试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
    如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
    如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，
    ①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
    ②你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图1，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C
    求抛物线的解析式；
    在中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
    如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：A、由原方程知：，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
B、该方程是分式方程，故本选项错误；
C、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误；
故选：
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
 

2.【答案】A
 

【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：由，得时y随x的增大而增大，得
时，，时，，
的近似根是，
故选：
根据二次函数的增减性，可得答案．
本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用函数的增减性是解题关键．
 

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：；
故选：  

5.【答案】A
 

【解析】解：，B为DE的中点，
，
将绕点C逆时针旋转角到的位置，
，
，
为等边三角形，
，
，
故选：
根据旋转变换的性质得到，，可得出，则是等边三角形，则计算旋转角即可．
本题考查的是旋转变换的性质，等边三角形的判定与性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
D、画树状图如下：

由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
故选：
根据古典概率模型的定义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．
先根据k的符号，得到反比例函数与一次函数都经过第一、三象限，再根据一次函数与y轴交于负半轴，即可得出结果．
【解答】
解：当时，反比例函数图象在第一、三象限都是y随x的增大而增大，
且一次函数图象必过第一、三象限，故A，C选项错误；
一次函数与y轴交于负半轴，
选项错误，B选项正确，
故选：

8.【答案】A
 

【解析】解：，
，，
∽，
，
：：9，
，
，
，
与的比是1：2，
故选：
根据相似三角形的判断可得∽，再根据相似三角形的性质可得，从而可得BE：：2，即可得到与的比．
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：如图，过点D作于点E，
四边形ABCD是菱形，
，，
又，，
点C的纵坐标等于点D的纵坐标，等于4，，，，
，
在直角中，，
，
，
点C的横坐标为4，
，
，
故选：
要求k的值，只需求出C点坐标即可，根据菱形的性质可得，所以点C的纵坐标等于点D的纵坐标，等于4，过点D作于点E，根据勾股定理求出，所以，从而得到点C的横坐标，进而根据点C的坐标求出k的值．
本题考查了反比例函数的图象上的点的坐标特征，菱形的性质，求得点C的坐标，进而根据点C的坐标求出k的值是解题的关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：抛物线开口向下、顶点在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
，，，
，故①正确；

抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，即，
，
，故，②错误；

抛物线与x轴的一个交点在和0之间，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点在2和3之间，故结论③正确；

抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x增大而增大，故结论④正确；
故选：
由抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴的交点位置、与x轴交点坐标等知识，逐个判断即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得m的取值范围．
【解答】
解：关于x的方程是一元二次方程，
，
解得：
故答案为：  

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，，
所以



故答案为
先根据根与系数的关系得到，，再把整理得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

13.【答案】
 

【解析】解：抛物线，开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，

故答案为
根据二次函数的性质得到抛物线，开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图1所示：
过点A作于点D，
由题意可得：，
则是等边三角形，
故，
则，
如图2所示：
过点A作于点E，
由题意可得：，
则是等腰直角三角形，，
则，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了
故答案为：
根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键．
 

15.【答案】32
 

【解析】解：连接OC并延长，交上一点P，以O为圆心，以OP为半径作，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
，
，
以点C为圆心的圆与y轴相切．
的半径为6，
，
是直径，
，
长度的最大值为32，
故答案为
连接OC并延长，交上一点P，以O为圆心，以OP为半径作，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则AB的最大长度为
本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．
 

16.【答案】①③④
 

【解析】解：①根据折叠可知：，
，
，
，
，
，故①正确；
②根据折叠可知：，
平分，
，
，
，
，故②错误；
③根据题意可知：直线FG经过点D，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④当为等腰三角形时，可得，均为等腰直角三角形，如图，

，
，
，
，
，
五边形ABCMN的周长为：


故④正确．
故答案为：①③④．
①根据折叠可得，，再利用直角三角形两个锐角互余即可判断①正确；
②根据折叠可得，再根据CD平分，可得，进而即可判断②错误；
③根据题意可知：直线FG经过点D，证明∽，对应边成比例可得，，进而即可判断③正确；
④当为等腰三角形时，可得，均为等腰直角三角形，如图，根据等腰直角三角形的性质即可判断④正确．
本题考查了折叠问题，同时与相似三角形、特殊角三角函数值、等腰三角形、矩形等知识相结合，转化相关线段和角度之间的关系是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

；

原式


 

【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：判别式




所以方程有两个不相等的实数根．

由韦达定理得


所以


两边同时乘以m并化简



解得或舍去
经检验是方程的根．
所以m的值是
 

【解析】只需证明根的判别式恒大于0即可．
把等号左边整理，再把一元二次方程根与系数的关系代入列出方程解则可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

19.【答案】60
 

【解析】解：本次接受调查的学生有：人，
选择C学习方式的人数有：人，

故答案为：60；

根据题意得：
名，
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．

画树状图如下：

共有12种可能的结果，其中抽取两人为一男一女有8种结果．
则抽到一男一女的概率为
根据A的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他学习方式的人数，求出C学习方式的人数，从而补全统计图；
用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．
先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：连OD，OE，如图，
为直径，
，即，
又，
而，
，
，即，
是的切线；

解：为的切线，ED是切线，
，，
，
，，
，

而，
，
∽，
，
，
在中，设，
，
解得
即BE的长为
 

【解析】连OD，OE，根据圆周角定理得到，而，，于是；
根据切线的性质得到，，则，得到，易证∽，得到，求得CD，然后在中，运用勾股定理可计算出BE的长．
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，熟练应用切线判定是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过B作于E，
则四边形CDBE为矩形，
米，米，
米
在中，

米；

如图，过N作交射线MO于F点，则，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
，N两点的距离约为米．
 

【解析】过B作于E，可得四边形CDBE为矩形，利用锐角三角函数即可求出AB的长；
过N作交射线MO于F点，则，利用30度角的直角三角形即可求出M，N两点的距离．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
 

22.【答案】解：甲、乙两种口罩零售单价分别每降1元，这两种口罩每周可各多销售10包，
，；
①由题意可知，甲的利润为：，乙的利润为：，


，
每周甲种口罩的销售量不低于乙种口罩的销售量的，
，

当时，随x的增大二人增大，
当时，W的值最大，最大值为，
的最大值是1440元；
②当时，
，
整理得：，
解得：，，
，的对称轴为直线，

 

【解析】由甲、乙两种口罩零售单价分别每降1元，这两种口罩每周可各多销售10包，可列出函数关系式；
①根据总利润=销售量单包利润，分别求出甲乙的总利润，求和即可得W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；②先令，得到关于x的一元二次方程，解得x的值，再根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】
解：，，
理由是：延长BD交AC于F，
，
，
在和中

≌，
，，
，
，
，
，
，
；


不发生变化，
理由是：，
，
，
在和中

≌，
，，
，
，
，
，
，
；


能，
理由是：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中

≌，
，




 

【解析】延长BD交AC于F，求出，证出≌，推出，，根据推出，求出即可；
求出，证出≌，推出，，根据求出，求出即可；
求出，证出≌，推出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．
 

24.【答案】解：抛物线与x轴交于点和点，
，
解得：，
所求抛物线解析式为：；
存在，理由如下：
连接BC交对称轴于Q，如图：

在中，令得，对称轴为直线，
，
而，
，
要使得的周长最小，只需最小，又A、B关于对称轴对称，有，
只需最小即可，
、B、C共线时，的周长最小，
设直线BC解析式为，则，
解得，
直线BC解析式为，
令得，
；
过点E作轴于点F，如图：

设，则，
，，，
，，
，
当时，最大，且最大值为，
此时，
点E坐标为
 

【解析】用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
连接BC交对称轴于Q，在中，得对称轴为直线，，，要使得的周长最小，只需Q、B、C共线，设直线BC解析式为，可得直线BC解析式为，即可得；
过点E作轴于点F，设，则，可得，，，即可求出，故当时，最大，且最大值为，点E坐标为
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、四边形面积、“将军饮马”模型等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．