湖北省孝感市孝南区诸赵学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)

2022-2023学年湖北省孝感市孝南区诸赵学校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1.  下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列事件中，属于随机事件的是(    )

A. 太阳从西边升起来了
B. 张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签
C. 任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是
D. 用长度分别是，，的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形

3.  抛物线的顶点在第几象限(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  已知是方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，四边形是的内接四边形，是延长线上一点．若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  用一个圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

9.  在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则______．

10.  在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是______．

11.  将抛物线的图象向上平移个单位，再向左平移个单位的抛物线为______．

12.  点绕原点旋转得到的点的坐标是______．

13.  设函数与的交点坐标为，则______．

14.  小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片如图所示让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为______，第个点的坐标为______．

16.  如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．

三、解答题（本题共8小题，共72分）

17.  计算：
；
．

18.  已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程两个实数根的差为，求的值．

19.  我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
扇形统计图中，______，等级对应的圆心角为______度；
小明是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选取人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．

20.  如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点．
求反比例函数和一次函数的关系式；
求的面积；
求不等式的解集．直接写出答案

21.  已知中，，点在边上，以为直径的与相交于点，且平分．
求证：是的切线；
若，求的半径．

22.  服装店销售进价为元件的运动服，市场调查发现：当售价为元件时，月销售量为件；每提价元，月销售量减少件．若该运动服提价后的售价为元件为整数，月销售量为件，月利润元，请解答下列问题：
直接写出与的函数关系式和自变量的取值范围；
当售价为多少元时，月利润元最大，最大月利润是多少元？
若商场规定运动服销量不少于件月，且月利润不低于元时，求售价的取值范围．

23.  如图在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点，连接，．

图中，线段与的数量关系是______；位置关系是______．
将绕点按逆时针方向旋转到图位置，连接，，，判断的形状，并说明理由．
将绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

24.  已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．
求抛物线的解析式及顶点坐标；
连接，，当的面积最大时，求出的最大面积和点的坐标；
当时，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、太阳从西边升起来了，是不可能事件，故A不符合题意；
B、张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签，是随机事件，故B符合题意；
C、任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是，是不可能事件，故C不符合题意；
D、用长度分别是，，的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点为，
顶点在第三象限．
故选：．
直接根据顶点式求出顶点坐标，再判断顶点所在的象限．
本题考查了二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
整理得，，
，
故选：．
根据方程的根的定义，把代入方程求出，易得答案．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
由圆的内接四边形的性质求出，又由邻补角的定义可求得．
此题考查了圆的内接四边形的性质和邻补角的定义，掌握圆的内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设圆锥底面的半径为，
根据题意得，
解得．
故选：．
设圆锥底面的半径为，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，交轴于，如图，
轴，，
四边形和四边形都是矩形，
，，
，
的面积．
故选：．
过点作轴于点，交轴于，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，，则，然后根据矩形的性质得到的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点从向运动时，的最大值为，
即，
由于是曲线部分的最低点，
此时最小，
如图，即，，

由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
图象右端点函数值为，
，
，
，
的面积为：．
故选：．
根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点成中心对称，
，，
则．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：从中随机抽取一张卡片共有种等可能结果，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、矩形、菱形、正六边形这种结果，
从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是，
故答案为：．
确定既是中心对称又是轴对称图形的有几个图形，除以即可求解．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，注意正偶数边形和特殊的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
 

11.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，那么得到的抛物线的解析式为：．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，
观察图象可知点的坐标为．
故答案为：．
画出图形，利用图象法解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数与的交点坐标为，
，，
，，



，
故答案为：．
根据函数与的交点坐标为，可以得到，，然后即可得到，，再将所求式子变形，再将，代入计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，灵活的将所求式子变形和函数变形，利用整体代入的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：设圆的半径为，
为弧的中心，，
延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，如图，
，
由勾股定理，得：，
即：，
解得：；
圆形瓦片所在圆的半径为：；
故答案为：．
利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
，
右下角的点的横坐标为时，共有个，
，是奇数，
第个点是，
，是奇数，
第个点是，
即第个点是
故答案为，．
观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可．
本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

，
点在以为直径的半上，
连接交于点，
当点位于点位置时，线段取得最小值，
，
，
，
，
则．
故答案为：．
由知点在以为直径的半上，连接交于点，当点位于点位置时，线段取得最小值，利用勾股定理可得答案．
本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据知点在以为直径的半上是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：关于的一元二次方程的根的判别式，
不论取任何实数，都有即成立；
当时，方程有两个不相等的实数根，
当时，方程有两个相等的实数根；
故该方程总有两个实数根；
不妨设方程的两实数根为，且，
则，
，
又，，
，
或，
故的值为或． 

【解析】先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可；
不妨设方程的两实数根为，且，则，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，进而变形即可求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：人，
人，
补全条形统计图如图所示：

故答案为：；
，
．
故答案为：；；
设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下：

共有中可能出现的情况，其中小明被选中的有种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以等级所占的百分比即可得出等级的人数，然后补全统计图即可；
用等级的频数除以总人数即可得出的值；用度乘以等级所占的比例即可；
用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
本题目考查了条形统计图与扇形统计图综合，掌握列表法或树状图法求概率是关键．
 

20.【答案】解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数为，
又在反比例函数的图象上，
，
又，是一次函数图象上的点，
，解得
一次函数为；
过点作，垂足为点，
当时，，
，
由知，，
，，
的面积为：；
或． 

【解析】解：见答案；
见答案；
由图象知：当和时函数的图象在一次函数图象的上方，
不等式的解集为：或．
由点在反比例函数图象上，可求出，再由点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
由上问求出的函数解析式，求出三点的坐标，从而求出的面积；
由图象观察函数的图象在一次函数图象的上方，即可得到对应的的范围．
此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．
 

21.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
经过的半径的外端，且，
是的切线．
解：连接，
是的直径，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
的半径为．
解法二：作于点，则，
，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
，且，
，
解得，
的半径为． 

【解析】连接，可证明，则，所以，即可证明是的切线；
连接，证明∽，得，可求得；也可以根据矩形的性质和勾股定理求解，作于点，设，则，可列方程，解方程求出的值即可．
此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：；
由题意得，，
又，
当时，，
当售价为多少元时，月利润最大，最大月利润是元；
当时，，
解得，，
，
，
的取值范围是． 

【解析】根据题意得出月销售量为；
根据每件利润为元，即可得出月销售利润元与售价元件的函数关系式，再二次函数的性质可得最大值；
根据题意列一元二次方程再结合二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数的解析式的确定以及运用；根据题意得出与的函数关系式是解决问题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
是等腰直角三角形．
理由如下：
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形；
由知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
先判断出≌，得出，同的方法得出，，即可得出，同的方法即可得出结论；
先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解的关键是判断出，，解的关键是判断出≌，解的关键是判断出最大时，的面积最大．
 

24.【答案】解：，，
，
、代入抛物线，
可得，
解得，
即，
对称轴为，
将代入得，
即顶点坐标为；
解：由题意可得：，
设直线的解析式为，
将，代入可得：，
解得，
，
设，
则，，
，
当时，的值最大为，，
此时；
解：存在，理由如下：
由可得，
设，，
当当为平行四边形的对角线时，
则，解得，
即；
当为平行四边形的对角线时，
则，解得，
即；
当为平行四边形的对角线时，
则，解得，
即；
综上所述，当点为，，时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 

【解析】用待定系数法即可求解；
设，，则，故进而求解；
分、、分别为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．