试卷 2021年云南省中考数学模拟试卷（一）

这是一份试卷 2021年云南省中考数学模拟试卷（一），共30页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上5℃记作+5℃，若气温零下3℃，则记作 ℃．
2．（3分）如图，若AB∥CD，点E在直线AB的上方，连接AE，CE，延长EA交CD于点F，已知∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，则∠EAB＝ °．
3．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 ．
4．（3分）如图，在一边长为2cm的正六边形ABCDEF中，以分别点A，D为圆心，AB，DC长为半径，作扇形ABF，扇形DCE，则图中阴影部分的面积为 cm2．（结果保留π）
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
6．（3分）如图，有一正方形ABCD，边长为4，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，BF的值为 ．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里．470000000这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．4.7×107B．4.7×108C．4.7×109D．47×107
8．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．（﹣2ab2）2＝4a2b4
9．（4分）如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成的，下列说法正确的是（ ）
A．几何体的主视图与左视图一样
B．几何体的主视图与俯视图一样
C．几何体的左视图与俯视图一样
D．几何体的三视图都一样
10．（4分）已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的小时数x是反比例函数关系，图象如图所示．如果这种显示器至少要用2000天，那么显示器平均每天工作的小时数x应控制在（ ）
A．0＜x≤10B．10≤x≤24C．0＜x≤20D．20≤x≤24
11．（4分）为宣传和普及垃圾分类的有效方法，不断增强同学们的环保意识，某学校举办了垃圾分类知识竞赛活动．学校为了解学生对这次大赛的掌握情况，在全校1500名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了两幅统计图，如图所示．下列四个选项错误的是（ ）
A．样本容量为60
B．所抽取学生中，竞赛成绩“良好”的人数为16人
C．所抽取学生中，成绩为“优秀”和“良好”的人数占比和低于“合格”的人数占比
D．α＝96°
12．（4分）如图，∠ABC＝30°，边BA上有一点D，DB＝4，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE＝（ ）
A．B．4C．D．8
13．（4分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，当第n个图形中实心圆点的个数为104个时，则n为 ）
A．32B．33C．34D．35
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤5，且关于y的分式方程的解为非正数，则符合条件的a所有整数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（5分）先化简，再求值：（4x﹣）÷，其中x＝．
16．（6分）如图，AB∥CD，点E是AC的中点．求证：AB＝CD．
17．（8分）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办．“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，将成为国际范围的热点关注内容．为广泛宣传云南生物多样性，某校组织七、八年级各200名学生对《云南的生物多样性》白皮书相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：
72，84，72，91，79，69，78，85，75，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：
85，72，92，84，80，74，75，80，76，82
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）计算八年级同学测试成绩的方差是：
＝×[（80﹣85）2+（80﹣72）2+（80﹣92）2+（80﹣84）2+（80﹣80）2+（80﹣74）2+（80﹣75）2+（80﹣80）2+（80﹣76）2+（80﹣82）2]＝33．
请你求出七年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？
（3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？
（4）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
18．（8分）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你指出共有几种运输方案，并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
19．（7分）2020年3月，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称中央《意见》），就加强大中小学劳动教育进行了系统设计和全面部署．2020年11月，中共云南省委、云南省人民政府全面对照落实中央《意见》精神，结合云南实际，印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》（以下简称《实施意见》），《实施意见》要求各地各校组织学生广泛开展劳动教育实践活动．昆明甲、乙两校想从下面四个劳动实践基地中任选一个，地点如下：
A：澄江抚仙湖仙湖农场劳动实践教育基地；
B：富民半山耕云劳动实践教育基地；
C：石林杏林大观园中医药文化研学实践教育基地；
D：石林锦苑花卉鲜花种植劳动实践教育基地．
（1）求甲校选择到澄江抚仙湖仙湖农场劳动实践教育基地的概率；
（2）甲、乙两校决定通过抽签的方式确定本次开展劳动教育实践活动的目的地，请你用树状图或列表的方法求出两所学校到同一地点开展劳动教育实践活动的概率．
20．（8分）普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
（3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，BC⊥AB．将四边形ABCD沿BF折叠，点C的对称点E落在边AD上，，AB＝3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BC的长度．
22．（8分）如图，△ACD是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，点B是⊙O上的一点，，点E在AD的延长线上，射线EF经过点C，∠ECD＝∠ACB；
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，CE＝4，求BC的长．
23．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．
2021年云南省中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上5℃记作+5℃，若气温零下3℃，则记作 ﹣3 ℃．
【分析】意义相反的量用正、负数表示．
【解答】解：∵正、负数表示相反意义的量，气温零上5℃记作+5℃，
∴气温零下3℃记作﹣3℃．
故答案为：﹣3．
2．（3分）如图，若AB∥CD，点E在直线AB的上方，连接AE，CE，延长EA交CD于点F，已知∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，则∠EAB＝ 134 °．
【分析】根据三角形外角的性质以及平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，
∴∠EFD＝∠DCE+∠CEF＝99°+35°＝134°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠EFD＝134°．
故答案为：134．
3．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2x﹣3≠0，
解得，．
故答案为：．
4．（3分）如图，在一边长为2cm的正六边形ABCDEF中，以分别点A，D为圆心，AB，DC长为半径，作扇形ABF，扇形DCE，则图中阴影部分的面积为 cm2．（结果保留π）
【分析】首先确定正多边形的内角的度数，然后求得扇形的面积，从而求得阴影部分的面积即可．
【解答】解：由正多边形每个内角公式可得：；
∵∠BAF＝∠CDE＝120°，
∴；
则阴影部分面积为：．
故答案为：．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根．
∴△＜0，即（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，
解得，，
故答案为．
6．（3分）如图，有一正方形ABCD，边长为4，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，BF的值为 或 ．
【分析】根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例式解答即可．
【解答】解：依题意可得：，
设BF＝x，则有；
①当△ABF∽△FDE时，（如图1）
由，得，
解得：；
②当△ABF∽△EDF时，（如图2）
由，得，
解得：；
综上所述，BF的值为或．
故答案为或．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里．470000000这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．4.7×107B．4.7×108C．4.7×109D．47×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：470000000＝4.7×108．
故选：B．
8．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．（﹣2ab2）2＝4a2b4
【分析】分别根据算术平方根的定义，立方根的定义，二次根式的加减运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A选项：表示的是16的算术平方根，所以，故本选项不合题意；
B选项：表示的是9立方根，开不尽方，故本选项不合题意；
C选项：不是同类二次根式不能合并，故本选项不合题意；
D选项：（﹣2ab2）2＝4a2b4，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（4分）如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成的，下列说法正确的是（ ）
A．几何体的主视图与左视图一样
B．几何体的主视图与俯视图一样
C．几何体的左视图与俯视图一样
D．几何体的三视图都一样
【分析】分别画出这个几何体的三视图即可．
【解答】解：该几何体三视图如下图所示：
由图可知：该几何体的主视图与俯视图一样．
故选：B．
10．（4分）已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的小时数x是反比例函数关系，图象如图所示．如果这种显示器至少要用2000天，那么显示器平均每天工作的小时数x应控制在（ ）
A．0＜x≤10B．10≤x≤24C．0＜x≤20D．20≤x≤24
【分析】根据题意得出反比例函数解析式，进而结合函数图像得出答案．
【解答】解：由题意可设，
∵图象过点（20，1000），
∴k＝20000．
∴．
∴当y＝2000时，x＝10．
观察图象可得：
∴当y≥2000时，0＜x≤10．
故选：A．
11．（4分）为宣传和普及垃圾分类的有效方法，不断增强同学们的环保意识，某学校举办了垃圾分类知识竞赛活动．学校为了解学生对这次大赛的掌握情况，在全校1500名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了两幅统计图，如图所示．下列四个选项错误的是（ ）
A．样本容量为60
B．所抽取学生中，竞赛成绩“良好”的人数为16人
C．所抽取学生中，成绩为“优秀”和“良好”的人数占比和低于“合格”的人数占比
D．α＝96°
【分析】根据两个统计图中的数量关系通过计算综合判断即可．
【解答】解：A选项：样本容量为12÷20%＝60，故A正确；
B选项：所抽取学生中，竞赛成绩“良好”的人数60﹣10﹣22﹣12＝16人），故B正确；
C选项：所抽取学生中，成绩为“优秀”和“良好”的人数和为10+16＝26人，成绩“合格”的人数为22人，因样本容量为60，故所抽取的学生中，成绩为“优秀”和“良好”的人数占比和应高于成绩“合格”的人数占比，故C错误；
D选项，故D正确．
故选：C．
12．（4分）如图，∠ABC＝30°，边BA上有一点D，DB＝4，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE＝（ ）
A．B．4C．D．8
【分析】连接DE，过点D作DF⊥BC于点F，解直角三角形求出BF，EF可得结论．
【解答】解：连接DE，过点D作DF⊥BC于点F，
在Rt△BDF中，∠ABC＝30°，BD＝4，
由得，
依题意可得：DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BC，
∴（等腰三角形三线合一），
∴．
故选：A．
13．（4分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，当第n个图形中实心圆点的个数为104个时，则n为 ）
A．32B．33C．34D．35
【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为2n+n+2，据此求解可得．
【解答】解：第①个图形中实心圆点的个数：5＝2×1+3，
第②个图形中实心圆点的个数：8＝2×2+4，
第③个图形中实心圆点的个数：11＝2×3+5，
∴第⑥个图形中实心圆点的个数：2×6+8＝20，
∴第n个图形中实心圆点的个数为：2n+n+2＝3n+2，
∴3n+2＝104，
∴n＝34．
故选：C．
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤5，且关于y的分式方程的解为非正数，则符合条件的a所有整数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】表示出不等式组的解集，由已知解集确定出a的范围，表示出分式方程的解，根据解为非正数确定出a的范围，进而求出a的具体范围，确定出正整数解的个数即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x≤5，
由②得：x＜3+2a，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为x≤5；
∴3+2a＞5，
解得：a＞1；
∵+＝1的解为非正数，
∴解得：y＝a﹣6，
∴a﹣6≤0，即a≤6，
综上所述，可得：a的取值范围为1＜a≤6；
则符合条件的a所有整数有：2，3，4，5，6，共5个．
故选：D．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（5分）先化简，再求值：（4x﹣）÷，其中x＝．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（4x﹣）÷
＝
＝
＝2x﹣1，
当x＝时，原式＝2×（）﹣1＝2+1﹣1＝2．
16．（6分）如图，AB∥CD，点E是AC的中点．求证：AB＝CD．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，进而利用全等三角形判定的AAS定理证得△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到AB＝CD．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∵点E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△ABE与△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD．
17．（8分）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办．“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，将成为国际范围的热点关注内容．为广泛宣传云南生物多样性，某校组织七、八年级各200名学生对《云南的生物多样性》白皮书相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：
72，84，72，91，79，69，78，85，75，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：
85，72，92，84，80，74，75，80，76，82
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 2 ，b＝ 78.5 ，c＝ 80 ；
（2）计算八年级同学测试成绩的方差是：
＝×[（80﹣85）2+（80﹣72）2+（80﹣92）2+（80﹣84）2+（80﹣80）2+（80﹣74）2+（80﹣75）2+（80﹣80）2+（80﹣76）2+（80﹣82）2]＝33．
请你求出七年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？
（3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？
（4）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）先根据方差的定义计算出七年级的方差，再比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案；
（3）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可；
（4）答案不唯一，合理均可．
【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在90≤x＜100范围内的数据有2个，
故a＝2．
中位数（分），
将八年级样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92，
其众数c＝80（分），
故答案为：2，78.5，80；
（2）七年级的方差是，
因为，
所以估计八年级学生的竞赛成绩更整齐些．
（3）（人），
根据样本估计总体的思想，这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共约60人．
（4）可以推断出八年级学生的数学水平较高，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
18．（8分）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你指出共有几种运输方案，并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，根据“2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆大货车，则租用（10﹣m）辆小货车，根据“运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出租车方案的个数，设总费用为w元，利用租车总费用＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，
依题意得：，
解得：．
答：1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资．
（2）设租用m辆大货车，则租用（10﹣m）辆小货车，
依题意得：，
解得：6≤m≤8，
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8，
∴共有3种运算方案．
设总费用为w元，则w＝5000m+3000（10﹣m）＝2000m+30000，
∵2000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝2000×6+30000＝42000．
答：共有3种运输方案，当租用6辆大货车，4辆小货车时，费用最少，最少费用为42000元．
19．（7分）2020年3月，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称中央《意见》），就加强大中小学劳动教育进行了系统设计和全面部署．2020年11月，中共云南省委、云南省人民政府全面对照落实中央《意见》精神，结合云南实际，印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》（以下简称《实施意见》），《实施意见》要求各地各校组织学生广泛开展劳动教育实践活动．昆明甲、乙两校想从下面四个劳动实践基地中任选一个，地点如下：
A：澄江抚仙湖仙湖农场劳动实践教育基地；
B：富民半山耕云劳动实践教育基地；
C：石林杏林大观园中医药文化研学实践教育基地；
D：石林锦苑花卉鲜花种植劳动实践教育基地．
（1）求甲校选择到澄江抚仙湖仙湖农场劳动实践教育基地的概率；
（2）甲、乙两校决定通过抽签的方式确定本次开展劳动教育实践活动的目的地，请你用树状图或列表的方法求出两所学校到同一地点开展劳动教育实践活动的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有16种等可能的结果，其中两所学校选择相同目的地有4种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵从A、B、C、D中随机选一项，共有四种等可能结果，∴甲校选择到澄江抚仙湖仙湖农场劳动实践教育基地的概率为；
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两所学校选择相同目的地有4种情况，
∴两所学校到同一地点开展劳动教育实践活动的概率为：，
即P（两所学校到同一地点开展劳动教育实践活动）＝．
20．（8分）普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
（3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）根据利润W元等于每千克的利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）若获得等于2000元周利润，则﹣2（x﹣85）2+2450＝2000，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（56，128）和（65，110）分别代入得：，
解得：，
∴y与x的关系式为y＝﹣2x+240；
（2）由题意知：W＝（x﹣50）•y
＝（x﹣50）（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000
∴W与x的关系式为：W＝﹣2x2+340x﹣12000，
∴W＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∴当x＝85时，在50＜x≤90内，W的值最大为2450元；
（3）若获得等于2000元周利润，则﹣2（x﹣85）2+2450＝2000，
解得x1＝70，x2＝100，
∵W＝﹣2x2+340x﹣12000，为开口向下的抛物线，
∴当70≤x≤100时，w≥2000，
又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，
∴销售单价范围为：70≤x≤90．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，BC⊥AB．将四边形ABCD沿BF折叠，点C的对称点E落在边AD上，，AB＝3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BC的长度．
【分析】（1）由矩形的判定方法可得出答案；
（2）由矩形的性质得出AB＝DC＝3，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠C＝90°．由折叠的性质得出CF＝EF，BC＝BE，∠BEF＝∠C＝90°．证明△DEF∽△ABE．由相似三角形的性质可得出，根据勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝180°．
∴∠ADC＝90°．
∵∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，
∴AB＝DC＝3，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠C＝90°．
由翻折可得，CF＝EF，BC＝BE，∠BEF＝∠C＝90°．
∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEF＝180°﹣∠BEF＝90°．
∵∠A＝90°，
∴∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠A＝90°．
∴∠ABE＝∠DEF．
∵∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△DEF∽△ABE．
∴．
∵AB＝3，
∴DE＝2，设BC＝x，则BE＝BC＝AD＝x，AE＝x﹣2，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
即32+（x﹣2）2＝x2，
解得，，
即．
22．（8分）如图，△ACD是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，点B是⊙O上的一点，，点E在AD的延长线上，射线EF经过点C，∠ECD＝∠ACB；
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，CE＝4，求BC的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠OCE＝90°，则可得出答案；
（2）过点O作OH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得出OC＝CE＝4，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠OCA＝∠ECD，
∵∠ACD＝∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠ECD+∠OCD＝90°，
即：∠OCE＝90°，
∴OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OH⊥BC于点H，
∵∠E＝45°，∠OCE＝90°，
∴∠E＝∠COE＝45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OC＝CE＝4，
∵∠ACB＝∠CAD，
∴BC∥AE，
∴∠COE＝∠OCB＝45°，
∵OH⊥BC，OH过圆心O，
∴∠OHC＝90°，BC＝2CH，
在Rt△OHC中，，
∴．
23．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．
【分析】（1）根据抛物线经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点，法一：代入抛物线解析式即可；
法二利用交点式得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），将C（0，4）坐标代入即可计算；
法三根据A（4，0）、B（﹣1，0）利用对称轴方程即可求解；
（2）延长DM交x轴于点H，根据题意证明△DMN是等腰直角三角形，然后求出直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），根据等腰三角形的性质即可得结论；
（3）法一：过PM∥y轴交AC于点M，由题意，设P（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
法二：设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），求出直线OP的解析式，将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入列式计算即可．
【解答】解：（1）法一：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
法二：依题意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），
将C（0，4）坐标代入得，
﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
法三：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1，延长DM交x轴于点H，
∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y轴交AC于点M，
∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，
∵DN⊥AC于点N，
∴∠AMH＝∠DMN＝45°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴．
设直线AC的解析式为y＝kx+b'（k≠0），
将A（4，0）、C（0，4）两点坐标代入得，
解得，
所以直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设D（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，DM最大值为4，
此时D（2，6），
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴△DMN周长＝，
∴△DMN周长的最大值为，
此时D（2，6）．
（3）法一：如图2，过PM∥y轴交AC于点M，
设P（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴PM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵PM∥OC，
∴，
∴，
∵，
∴当m＝2时，的最大值为1．
法二：如图2，设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），
∴．
设直线OP的解析式为y＝kx（k≠0），
将Q（m，﹣m+4）点代入得，
∴直线OP的解析式，
将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入得，，
所以，
化简得，
∴，
∵
∴当n＝2时，的最大值为1．
成绩
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
统计量
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
八年级
80
80
c
33
销售单价x（元/千克）
56
65
75
销售量y（千克）
128
110
90
成绩
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
统计量
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
八年级
80
80
c
33
销售单价x（元/千克）
56
65
75
销售量y（千克）
128
110
90