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数学选修4-1五 与圆有关的比例线段教学课件ppt
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这是一份数学选修4-1五 与圆有关的比例线段教学课件ppt，共27页。PPT课件主要包含了相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理，题型一，题型二，题型三，题型四，答案1∶3等内容，欢迎下载使用。
1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握割线定理、切割线定理及其应用.3.掌握切线长定理及其应用.
归纳总结由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦,且该弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.
【做一做1】 如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于( )A.1B.2C.3D.4解析:∵AE·EB=DE·EC,∴2EB=4×1.∴EB=2.答案:B
【做一做2】 如图,P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等于( )A.2B.4C.8D.不确定解析:∵PA·PB=PC·PD,∴PA·PB=4×2=8.答案:C
名师点拨相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论)统称为圆幂定理.可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).两条线段的长的积是常数PA·PB=|R2-d2|,其中d为定点P到圆心O的距离.若点P在圆内,dR,则该常数为d2-R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点.
【做一做3】 如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于( )A.4B.6C.9D.36解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36,∴PA=6.答案:B
【做一做4】 如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为A,B,∠P=80°,则∠C= . 解析:∵PA,PB分别为☉O的切线,∴PA=PB.又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°.∴∠ACB=∠PAB=50°.答案:50°
1.与圆有关的比例线段问题剖析:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其解法大致可分以下几种:(1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.(2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,可以把平方项的线段利用中间积进行代换.
(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理,可以寻找“中间比”进行代换.与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.
2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析:如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;(3)若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心;(4)OA2=OC2=OE·OP=OD2;(6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD.
【例1】 如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径 r= .
反思相交弦定理的结论是线段成比例,也可以看成等式,因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段,又可以建立方程来解决问题.如本题中,利用相交弦定理列出关于半径r的方程.
【例2】 如图,已知☉O的割线PAB交☉O于点A和点B,PA=6 cm,AB=8 cm,PO=10.9 cm,求☉O的半径.分析:由于PO既不是☉O的切线,也不是割线,故需将PO延长交☉O于点D,构成圆的一条割线,而OD又恰好是☉O的半径,于是运用割线定理解题即可.
解:如图,将PO延长交☉O于D.根据割线定理,可得PA·PB=PC·PD.设☉O的半径为r cm,则6×(6+8)=(10.9-r)(10.9+r),解得r=5.9,即☉O的半径为5.9 cm.反思如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线,那么常用到割线定理.本题中,利用割线定理列出关于半径r的方程,进而可求出r的值.
【变式训练2】 如图,PB和PD为圆的两条割线,分别交圆于点A,B和点C,D.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD= .
证明:如图,连接BC,BD.∴∠DBE=∠CBE.又AB是☉O的切线,∴∠ABC=∠CDB.∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB,∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,∴AF2=AC·AD.反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么常用到切割线定理.
【变式训练3】 如图,自圆O外一点P引切线与圆切于点A,M为PA的中点,过M引割线交圆于B,C两点.求证:∠MCP=∠MPB.证明:∵PA与圆相切于A,∴MA2=MB·MC.∵M为PA的中点,∴PM=MA,∴PM2=MB·MC,∵∠BMP=∠PMC,∴△BMP∽△PMC,∴∠MCP=∠MPB.
【例4】 如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C的切线与过A,B两点的切线分别交于点E,F,AF与BE交于点P.求证:∠EPC=∠EBF.证明:∵EA,EF,FB是☉O的切线,∴EA=EC,FC=FB.∵EA,FB切☉O于A,B,AB是直径,∴EA⊥AB,FB⊥AB.
反思如果已知条件中出现过圆外同一点的切线,那么常用到切线长定理.首先要注意分析其中的等量关系,即①切线长相等,②圆外的点与圆心的连线平分两条切线的夹角,然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明.
1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握割线定理、切割线定理及其应用.3.掌握切线长定理及其应用.
归纳总结由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦,且该弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.
【做一做1】 如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于( )A.1B.2C.3D.4解析:∵AE·EB=DE·EC,∴2EB=4×1.∴EB=2.答案:B
【做一做2】 如图,P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等于( )A.2B.4C.8D.不确定解析:∵PA·PB=PC·PD,∴PA·PB=4×2=8.答案:C
名师点拨相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论)统称为圆幂定理.可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).两条线段的长的积是常数PA·PB=|R2-d2|,其中d为定点P到圆心O的距离.若点P在圆内,d
【做一做3】 如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于( )A.4B.6C.9D.36解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36,∴PA=6.答案:B
【做一做4】 如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为A,B,∠P=80°,则∠C= . 解析:∵PA,PB分别为☉O的切线,∴PA=PB.又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°.∴∠ACB=∠PAB=50°.答案:50°
1.与圆有关的比例线段问题剖析:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其解法大致可分以下几种:(1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.(2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,可以把平方项的线段利用中间积进行代换.
(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理,可以寻找“中间比”进行代换.与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.
2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析:如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;(3)若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心;(4)OA2=OC2=OE·OP=OD2;(6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD.
【例1】 如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径 r= .
反思相交弦定理的结论是线段成比例,也可以看成等式,因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段,又可以建立方程来解决问题.如本题中,利用相交弦定理列出关于半径r的方程.
【例2】 如图,已知☉O的割线PAB交☉O于点A和点B,PA=6 cm,AB=8 cm,PO=10.9 cm,求☉O的半径.分析:由于PO既不是☉O的切线,也不是割线,故需将PO延长交☉O于点D,构成圆的一条割线,而OD又恰好是☉O的半径,于是运用割线定理解题即可.
解:如图,将PO延长交☉O于D.根据割线定理,可得PA·PB=PC·PD.设☉O的半径为r cm,则6×(6+8)=(10.9-r)(10.9+r),解得r=5.9,即☉O的半径为5.9 cm.反思如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线,那么常用到割线定理.本题中,利用割线定理列出关于半径r的方程,进而可求出r的值.
【变式训练2】 如图,PB和PD为圆的两条割线,分别交圆于点A,B和点C,D.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD= .
证明:如图,连接BC,BD.∴∠DBE=∠CBE.又AB是☉O的切线,∴∠ABC=∠CDB.∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB,∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,∴AF2=AC·AD.反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么常用到切割线定理.
【变式训练3】 如图,自圆O外一点P引切线与圆切于点A,M为PA的中点,过M引割线交圆于B,C两点.求证:∠MCP=∠MPB.证明:∵PA与圆相切于A,∴MA2=MB·MC.∵M为PA的中点,∴PM=MA,∴PM2=MB·MC,∵∠BMP=∠PMC,∴△BMP∽△PMC,∴∠MCP=∠MPB.
【例4】 如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C的切线与过A,B两点的切线分别交于点E,F,AF与BE交于点P.求证:∠EPC=∠EBF.证明:∵EA,EF,FB是☉O的切线,∴EA=EC,FC=FB.∵EA,FB切☉O于A,B,AB是直径,∴EA⊥AB,FB⊥AB.
反思如果已知条件中出现过圆外同一点的切线,那么常用到切线长定理.首先要注意分析其中的等量关系,即①切线长相等,②圆外的点与圆心的连线平分两条切线的夹角,然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明.
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