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    数学第二章 参数方程综合与测试习题

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    这是一份数学第二章 参数方程综合与测试习题,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知曲线的方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2t,,y=t))(t为参数),则下列点中在曲线上的是( )
    A.(1,1) B.(2,2) C.(0,0) D.(1,2)
    解析:选C 当t=0时,x=0且y=0,即点(0,0)在曲线上.
    2.(北京高考)曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1+cs θ,,y=2+sin θ))(θ为参数)的对称中心( )
    A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上
    C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上
    解析:选B 曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1+cs θ,,y=2+sin θ))(θ为参数)的普通方程为
    (x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.
    3.直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=a+t,y=b+t))(t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b)之间的距离是( )
    A.|t1| B.2|t1| C.eq \r(2)|t1| D.eq \f(\r(2),2)|t1|
    解析:选C ∵P1(a+t1,b+t1),P(a,b),
    ∴|P1P|=eq \r(a+t1-a2+b+t1-b2)=eq \r(t\\al(2,1)+t\\al(2,1))=eq \r(2)|t1|.
    4.已知三个方程:①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=t,,y=t2,))②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=tan t,,y=tan2t,))
    ③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=sin t,,y=sin2t))(都是以t为参数).那么表示同一曲线的方程是( )
    A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
    解析:选B ①②③的普通方程都是y=x2,但①②中x的取值范围相同,都是x∈R,而③中x的取值范围是-1≤x≤1.
    5.参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=t+\f(1,t),y=-2))(t为参数)所表示的曲线是( )
    A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
    解析:选B 因为x=t+eq \f(1,t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),
    即x≤-2或x≥2,故是两条射线.
    6.已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=6+\f(4,cs θ),y=5tan θ-3))(θ为参数,π≤θ<2π).已知点M(14,a)在曲线C上,则a=( )
    A.-3-5eq \r(3) B.-3+5eq \r(3) C.-3+eq \f(5,3)eq \r(3) D.-3-eq \f(5,3)eq \r(3)
    解析:选A ∵(14,a)在曲线C上,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(14=6+\f(4,cs θ) ①,a=5tan θ-3 ②))
    由①得:cs θ=eq \f(1,2),又π≤θ<2π.
    ∴sin θ=-eq \r(1-\f(1,2)2)=-eq \f(\r(3),2),∴tan θ=-eq \r(3).
    ∴a=5·(-eq \r(3))-3=-3-5eq \r(3).
    7.直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-2-\r(2)t,,y=3+\r(2)t))(t为参数)上与点P(-2,3)的距离等于eq \r(2)的点的坐标是( )
    A.(-4,5) B.(-3,4)
    C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1)
    解析:选C 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得eq \r(-\r(2)2+\r(2)2)·|t|=eq \r(2),解得t=±eq \f(\r(2),2),将t代入原方程,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-3,,y=4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=2,))所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).
    8.若圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1+2cs θ,,y=3+2sin θ))(θ为参数),直线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2t-1,,y=6t-1))(t为参数),则直线与圆的位置关系是( )
    A.过圆心 B.相交而不过圆心
    C.相切 D.相离
    解析:选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程,利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较,可知圆心到直线的距离小于半径,并且圆心不在直线上.
    9.设F1和F2是双曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2sec θ,,y=tan θ))(θ为参数)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,那么△F1PF2的面积是( )
    A.1 B.eq \f(\r(5),2) C.2 D.5
    解析:选A 方程化为普通方程是eq \f(x2,4)-y2=1,∴b=1.
    由题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|2+|PF2|2=4c2,,|PF1|-|PF2|2=4a2.))
    ∴2|PF1|·|PF2|=4b2.
    ∴S=eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|=b2=1.
    10.已知方程x2-ax+b=0的两根是sin θ和cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|θ|≤\f(π,4))),则点(a,b)的轨迹是( )
    A.椭圆弧 B.圆弧 C.双曲线弧 D.抛物线弧
    解析:选D 由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ+cs θ=a,,sin θ·cs θ=b,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=sin θ+cs θ,,b=sin θ·cs θ.))
    a2-2b=(sin θ+cs θ)2-2sin θ·cs θ=1.
    又|θ|≤eq \f(π,4).∴表示抛物线弧.
    二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上)
    11.若直线l:y=kx与曲线C:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2+cs θ,,y=sin θ))(参数θ∈R)有唯一的公共点,则实数k=________.
    解析:曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=1,由题意知,eq \f(|2k-0|,\r(1+k2))=1,∴k=±eq \f(\r(3),3).
    答案:±eq \f(\r(3),3)
    12.(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=t,,y=t-a))(t为参数)过椭圆C:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3cs φ,,y=2sin φ))(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为________.
    解析:由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=t,,y=t-a))(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程:y=x-a,由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以3-a=0,即a=3.
    答案:3
    13.已知点P在直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3+4t,,y=1+3t))(t为参数)上,点Q为曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(5,3)cs θ,,y=3sin θ))(θ为参数)上的动点,则|PQ|的最小值等于________.
    解析:直线方程为3x-4y-5=0,由题意,点Q到直线的距离
    d=eq \f(|5cs θ-12sin θ-5|,5)=eq \f(|13csθ+φ-5|,5),
    ∴dmin=eq \f(8,5),即|PQ|min=eq \f(8,5).
    答案:eq \f(8,5)
    14.(天津高考)已知抛物线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2pt2,,y=2pt))
    (t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=________.
    解析:由题意知,抛物线的普通方程为y2=2px(p>0),焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0)),准线x=-eq \f(p,2),设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|,所以△MEF是正三角形,
    在Rt△EFA中,|EF|=2|FA|,即3+eq \f(p,2)=2p,得p=2.
    答案:2
    三、解答题(本大题共6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
    15.(本小题满分10分)求曲线C1:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(2,t2+1),,y=\f(2t,t2+1).))(t为参数)被直线l:y=x-eq \f(1,2)所截得的线段长.
    解:曲线C1:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(2,t2+1),①,y=\f(2t,t2+1),②))eq \f(②,①)得t=eq \f(y,x),代入①,化简得x2+y2=2x.
    又x=eq \f(2,t2+1)≠0,
    ∴C1的普通方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).
    圆C1的圆心到直线l:y=x-eq \f(1,2)的距离d=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1-0-\f(1,2))),\r(2))=eq \f(1,2\r(2)).
    所求弦长为2eq \r(1-d2)=eq \f(\r(14),2).
    16.(本小题满分12分)已知实数x,y满足x2+(y-1)2=1,求t=x+y的最大值.
    解:方程x2+(y-1)2=1表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆.
    ∴其参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=cs θ,,y=1+sin θ.))
    ∴t=x+y=cs θ+sin θ+1
    =eq \r(2)sin(θ+eq \f(π,4))+1
    ∴当sin (θ+eq \f(π,4))=1时tmax=eq \r(2)+1.
    17.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=cs φ,,y=sin φ,))(φ为参数),曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=acs φ,,y=bsin φ,))(a>b>0,φ为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=eq \f(π,2)时,这两个交点重合.
    (1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
    (2)设当α=eq \f(π,4)时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-eq \f(π,4)时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
    解:(1)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1.因此C1是圆,C2是椭圆.
    当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.
    当α=eq \f(π,2)时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.
    (2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和eq \f(x2,9)+y2=1.
    当α=eq \f(π,4)时,射线l与C1交点A1的横坐标为x=eq \f(\r(2),2),与C2交点B1的横坐标为x′=eq \f(3\r(10),10).
    当α=-eq \f(π,4)时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此四边形A1A2B2B1为梯形,故四边形A1A2B2B1的面积为eq \f(2x′+2xx′-x,2)=eq \f(2,5).
    18.(本小题满分12分)舰A在舰B的正东,距离6千米;舰C在舰B的北偏西30°,距离4千米.它们准备围捕海中某动物,某时刻A发现动物信号,4秒后B、C同时发现这种信号,A于是发射麻醉炮弹,假设舰与动物都是静止的,动物信号的传播速度为1千米/秒,炮弹初速度为 eq \r(\f(20\r(3)g,3))千米/秒,其中g为重力加速度,空气阻力不计,求舰A炮击的方位角与仰角.
    解:以BA为x轴,BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图),则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2eq \r(3)).设海中动物为P(x,y).
    因为|BP|=|CP|,
    所以P在线段BC的中垂线上,易知中垂线方程是y=eq \f(\r(3),3)(x+7).
    又|PB|-|PA|=4,所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上,双曲线方程是eq \f(x2,4)-eq \f(y2,5)=1.从而得P(8,5eq \r(3)).
    设∠xAP=α,则tan α=kAP=eq \r(3),
    ∴α=60°,这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点,AP为x′轴建立坐标系x′Ay′,(如图).|PA|=10,设弹道曲线方程是
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′=v0tcs θ,y′=v0tsin θ-\f(1,2)gt2))(其中θ为仰角)
    将P(10,0)代入,消去t便得sin 2θ=eq \f(\r(3),2),θ=30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
    19.(本小题满分12分)已知曲线C1:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-4+cs t,,y=3+sin t))(t是参数),C:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=8cs θ,,y=3sin θ))(θ是参数).
    (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
    (2)若C1上的点P对应的参数为t=eq \f(π,2),Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3+2t,,y=-2+t))(t是参数)距离的最小值.
    解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:eq \f(x2,64)+eq \f(y2,9)=1,
    C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.
    C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
    (2)当t=eq \f(π,2)时,P(-4,4),Q(8cs θ,3sin θ),
    故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2+4cs θ,2+\f(3,2)sin θ)).
    C3为直线x-2y-7=0,
    M到C3的距离d=eq \f(\r(5),5)|4cs θ-3sin θ-13|.
    从而当cs θ=eq \f(4,5),sin θ=-eq \f(3,5)时,d取得最小值eq \f(8\r(5),5).
    20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=4cs θ,,y=4sin θ))(θ为参数,且0≤θ≤2π),点M是曲线C1上的动点.
    (1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程;
    (2)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l的极坐标方程为ρcs θ-ρsin θ+1=0(ρ>0),求点P到直线l距离的最大值.
    解:(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cs θ,4sin θ),坐标原点O(0,0),设P的坐标为(x,y),则由中点坐标公式得x=eq \f(1,2)(0+4cs θ)=2cs θ,y=eq \f(1,2)(0+4sin θ)=2sin θ,所以点P的坐标为(2cs θ,2sin θ),因此点P的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2cs θ,y=2sin θ)),(θ为参数,且0≤θ≤2π).
    (2)由直角坐标与极坐标关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=ρcs θ,,y=ρsin θ,))得直线l的直角坐标方程为x-y+1=0,
    又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点,半径为2的圆,
    因为原点(0,0)到直线x-y+1=0的距离为eq \f(|0-0+1|,\r(12+-12))=eq \f(1,\r(2))=eq \f(\r(2),2),
    所以点P到直线l距离的最大值为2+eq \f(\r(2),2).
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