人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系综合与测试同步达标检测题

这是一份人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系综合与测试同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析：选B x＝1×cs π＝－1，y＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．
2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cs 2θ，给定两点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，Q(2，π)，则有( )
A．P在曲线C上，Q不在曲线C上
B．P，Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上
D．P，Q都在曲线C上
解析：选C 当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝2cs π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cs 2π＝2，故点Q在曲线上．
3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3x′,y＝\f(1,2)y′)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3xy′＝\f(1,2)y))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3x′,y＝2y′)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x,y′＝2y))
解析：选B 将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λx，,y′＝μy))代入y＝sin x，得μy＝sin λx，
即y＝eq \f(1,μ)sin λx，与y＝2sin 3x比较，得μ＝eq \f(1,2)，λ＝3，
即变换公式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y.))
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( )
A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
解析：选B 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，故化为直角坐标方程是x2＋y2＝4y，即(y－2)2＋x2＝4.
5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(π,2)，5))，则此长方体的体积为( )
A．100 B．120
C．160 D．240
解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(π,2)，5))，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
7．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cs θ的切线，则切线长为( )
A．2 B．6
C．2eq \r(3) D．2eq \r(15)
解析：选C 圆ρ＝－4cs θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝eq \r(42－22)＝eq \r(12)＝2eq \r(3).
8．极坐标方程θ＝eq \f(π,3)，θ＝eq \f(2,3)π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A.eq \f(16,3)π B.eq \f(8,3)π
C.eq \f(4,3)π D.eq \f(2,3)π
解析：选B 三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为eq \f(2π,3)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,3).
∴扇形面积为：eq \f(1,2)×4×eq \f(π,3)×4＝eq \f(8π,3).
9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))关于( )
A．θ＝eq \f(π,3)轴对称 B．θ＝eq \f(5π,6)轴对称
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))中心对称 D．极点中心对称
解析：选B ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))可化为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(5π,6)))，可知此曲线是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,6)))为圆心的圆，故圆关于θ＝eq \f(5π,6)对称．
10．极坐标系内曲线ρ＝2cs θ上的动点P与定点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))的最近距离等于( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \r(5)－1
C．1 D.eq \r(2)
解析：选A 将曲线ρ＝2cs θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即eq \r(2)－1.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(陕西高考)直线2ρcs θ＝1与圆ρ＝2cs θ相交的弦长为________．
解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝eq \f(|2－1|,\r(22＋0))＝eq \f(1,2)，设所求的弦长为l，则12＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2，解得l＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
12．点A的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(9,2)，3))，则它的球坐标为________．
解析：r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2＋32)＝6.cs φ＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，
∴φ＝eq \f(π,3).tan θ＝eq \f(\f(9,2),\f(3\r(3),2))＝eq \r(3)，∴θ＝eq \f(π,3).
∴它的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(π,3)，\f(π,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(π,3)，\f(π,3)))
13．在极坐标系中，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))关于直线l：ρcs θ＝1的对称点的一个极坐标为________．
解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝eq \f(π,4)，且OA′＝2eq \r(2)，
故A′的极坐标可以是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))
14．已知直线l的方程为y＝x＋1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cs θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径 ρ＝________.
解析：直线l的方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(5).
答案：eq \r(5)
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,2)))后的图形．
(1)x2－y2＝1；(2)eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
解：由伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,2)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3x′，,y＝2y′.)) ①
(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,2)))后，
双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示．
(2)将①代入eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1得x′2＋eq \f(y′2,2)＝1，因此，经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,2)))后，椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1变成椭圆x′2＋eq \f(y′2,2)＝1，如图(2)所示．
16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4)))，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标．
解：对于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，直角坐标为(eq \r(2)，eq \r(2))，点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4)))的直角坐标为(－eq \r(2)，－eq \r(2))，
设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，
即(x－eq \r(2)，y－eq \r(2))·(x＋eq \r(2)，y＋eq \r(2))＝0，
∴x2＋y2＝4.①
又|eq \(AC,\s\up7(―→))|2＝|eq \(BC,\s\up7(―→))|2，
于是(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝(x＋eq \r(2))2＋(y＋eq \r(2))2，
∴y＝－x，代入①，得x2＝2，
解得x＝±eq \r(2).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)，,y＝－\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\r(2)，,y＝\r(2)，))
∴点C的直角坐标为(eq \r(2)，－eq \r(2))或(－eq \r(2)，eq \r(2))，
∴ρ＝eq \r(2＋2)＝2，tan θ＝－1，θ＝eq \f(7π,4)或eq \f(3π,4)，
∴点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,4))).
17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cs θ与直线3ρcs θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，
即有eq \f(|3×1＋4×0＋a|,\r(32＋42 ))＝1，解得a＝－8或a＝2.
故a的值为－8或2.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q是曲线ρ＝12csθ－eq \f(π,6)上的动点，试求|PQ|的最大值．
解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.
又∵ρ＝12cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))，
∴ρ2＝12ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θcs\f(π,6)＋sin θsin\f(π,6)))，
∴x2＋y2－6eq \r(3)x－6y＝0，
∴(x－3eq \r(3))2＋(y－3)2＝36.
∴|PQ|max＝6＋6＋eq \r(3\r(3)2＋32)＝18.
19．(本小题满分12分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′(eq \f(9,a)，0)，直线BP的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2)＝1，直线B′P′的方程为eq \f(x,\f(9,a))＋eq \f(y,－2)＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.
设M(x，y)，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋ay－2a＝0，,2ax－9y－18＝0，))解得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(18a,a2＋9)，,y＝\f(2a2－18,a2＋9)))(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
所以C1与C2交点的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).