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    数学选修2-2第一章 导数及其应用1.1变化率与导数一课一练

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    这是一份数学选修2-2第一章 导数及其应用1.1变化率与导数一课一练,共12页。试卷主要包含了5.2 汽车行驶的路程等内容,欢迎下载使用。

    1.5.1 曲边梯形的面积

    1.5.2 汽车行驶的路程

    明目标、知重点

    1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.    

    2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.

    1.曲边梯形的面积

    (1)曲边梯形:由直线xaxb(ab),y=0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).

    (2)求曲边梯形面积的方法

    把区间ab]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示).

     

    (3)求曲边梯形面积的步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限.

    2.求变速直线运动的(位移)路程

    如果物体做变速直线运动,速度函数为vv(t),那么也可以采用分割近似代替求和取极限的方法,求出它在atb内所作的位移s.

    情境导学]

    任何一个平面图形都有面积,其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积,可以利用相关公式进行计算.如图所示的平面图形,是由直线xaxb(ab),y=0和曲线yf(x)所围成的,称之为曲边梯形,如何计算这个曲边梯形的面积呢?

    探究点一 求曲边梯形的面积

    思考1 如何计算下列两图形的面积?

    答 ①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.

    问题 如图,如何求由抛物线yx2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积S?

    思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别?

    答 已知图形是由直线x=1,y=0和曲线yx2所围成的,可称为曲边梯形,曲边梯形的一条边为曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段.

    思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题?(归纳主要步骤)

    答 (如图)可以通过把区间0,1]分成许多小区间,将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和,就得到曲边梯形面积的近似值,随着拆分越来越细,近似程度会越来越好.

    SnSi()2·Δx

    ()2·(i=1,2,…,n)

    =0·+()2·+…+()2·

    12+22+…+(n-1)2]

    (1-)(1-).

    SSn (1-)(1-)=.

    求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成.

    思考4 在“近似代替”中,如果认为函数f(x)=x2在区间](i=1,2,…,n)上的值近似地等于右端点处的函数值f(),用这种方法能求出S的值吗?若能求出,这个值也是吗?取任意ξi]处的函数值f(ξi)作为近似值,情况又怎样?其原理是什么?

    答 以上方法都能求出S.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”,在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形.

    例1 求由直线x=0,x=1,y=0和曲线yx2所围成的图形的面积.

    解 (1)分割

    将区间0,1]等分为n个小区间:

    0,],],],…,],…,,1],

    每个小区间的长度为Δx.

    过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…,ΔSn.

    (2)近似代替

    在区间](i=1,2,…,n)上,以的函数值2作为高,小区间的长度Δx作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积,即

    ΔSi≈()2·.

    (3)求和

    曲边梯形的面积近似值为

    SSi()2·

    =0·+()2·+()2·+…+()2·

    12+22+…+(n-1)2]

    (1-)(1-).

    (4)取极限

    曲边梯形的面积为

    S (1-)(1-)=.

    反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤:(1)思想:以直代曲、逼近;(2)步骤:分割→近似代替→求和→取极限;(3)关键:近似代替;(4)结果:分割越细,面积越精确.

    跟踪训练1 求由抛物线yx2与直线y=4所围成的曲边梯形的面积.

    解 ∵yx2为偶函数,图象关于y轴对称,∴所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x≥0)与直线x=0,y=4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S阴影.

    得交点为(2,4),

    如图所示,先求由直线x=0,x=2,y=0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积.

    (1)分割

    将区间0,2] n等分,

    则Δx, 取ξi.

    (2)近似代替求和

    Sn]2·

    12+22+32+…+(n-1)2]

    (1-)(1-).

    (3)取极限

    SSn (1-)(1-)=.

    ∴所求平面图形的面积为S阴影=2×4-.

    ∴2S阴影

    即抛物线yx2与直线y=4所围成的图形面积为.探究点二 求变速运动的路程

    思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?

    答 物体以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为svt.如果物体做变速直线运动,与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把时间t分割成许多“小段”,在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动,于是把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题.

    例2 汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=-t2+2(单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时间行驶的路程是多少?

    解 分割

    将时间区间0,1]分成n个小区间,0,],],],…,],…,,1],

    则第i个小区间为](i=1,2,…,n).

    (2)近似代替

    i个小矩形的高为v-()],

    ∴△siv-()]·=-()2+2]·.

    (3)求和

    sn-()2+2]

    =-02+12+22+…+(n-1)2]+2

    =-+2=-(1-)(1-)+2.

    (4)取极限

    ssn(1-)(1-)+2]=.

    ∴这段时间行驶的路程为 km.

    反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决.

    (2)从函数的角度来看,求变速运动的路程,就是求速度函数v(t)=-t2+2在t=0,t=1,v(t)=0形成的曲边梯形的面积,这就是数学方法在物理应用中的体现.

    跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?

    解 (1)分割

    在时间区间0,2]上等间隔地插入n-1个分点,将它分成n个小区间,记第i个小区间为](i=1,2,…,n),其长度为Δt.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1,2,…,n),

    则显然有ssi.

    (2)近似代替

    ξi(i=1,2,…,n),用小矩形的面积Δsi近似地代替Δsi,于是

    Δsi≈Δsiv()·Δt

    =3()2+2]·

    (i=1,2,…,n).

    (3)求和

    snsi()

    (12+22+…+n2)+4

    ·+4

    =8(1+)(1+)+4.

    从而得到s的近似值svn.

    (4)取极限

    ssn8(1+)(1+)+4]

    =8+4=12.

    所以这段时间内行驶的路程为12 km.

    1.把区间1,3] n等分,所得n个小区间的长度均为(  )

    A.  B.  C.  D.

    答案 B

    解析 区间1,3]的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为.

    2.函数f(x)=x2在区间上(  )

    A.f(x)的值变化很小

    B.f(x)的值变化很大

    C.f(x)的值不变化

    D.当n很大时,f(x)的值变化很小

    答案 D

    解析 当n很大,即Δx很小时,在区间]上,可以认为f(x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数.

    3.在“近似代替”中,函数f(x)在区间xixi+1]上的近似值等于(  )

    A.只能是左端点的函数值f(xi)

    B.只能是右端点的函数值f(xi+1)

    C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξixixi+1])

    D.以上答案均正确

    答案 C

    4.求由曲线yx2与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形面积时,把区间5等分,则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________.

    答案 1.02

    解析 将区间5等分所得的小区间为1,],],],],,2],

    于是所求平面图形的面积近似等于

    (1+)=×=1.02.

    呈重点、现规律]

    求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤:

    (1)分割:n等分区间ab];

    (2)近似代替:取点ξixi-1xi];

    (3)求和:(ξi

    (4)取极限:s(ξi.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了计算方便,可以取区间上的一些特殊点,如区间的端点(或中点).

    一、基础过关

    1.当n很大时,函数f(x)=x2在区间]上的值,可以近似代替为(  )

    A.f()   B.f()

    C.f()   D.f(0)

    答案 C

    2.在等分区间的情况下f(x)=(x∈0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(  )

    A.·] B.·]

    C. (·) D.·n]

    答案 B

    解析 ∵Δx.

    ∴和式为·].

    ∴应选B.

    3.把区间ab] (a<b)n等分之后,第i个小区间是(  )

    A.]

    B.(ba),(ba)]

    C.aa]

    D.a(ba),a(ba)]

    答案 D

    解析 区间ab](a<b)长度为(ba),n等分之后,

    每个小区间长度均为

    i个小区间是a(ba),a(ba)](i=1,2,…n).

    4.一物体沿直线运动,其速度v(t)=t,这个物体在t=0到t=1这段时间内所走的路程为(  )

    A.   B.

    C.1   D.

    答案 B

    解析 曲线v(t)=t与直线t=0,t=1,横轴围成的三角形面积S即为这段时间内物体所走的路程.

    5.由直线x=1,y=0,x=0和曲线yx3所围成的曲边梯形,将区间4等分,则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    答案 D

    解析 将区间0,1]四等分,得到4个小区间:0,],],],,1],以每个小区间右端点的函数值为高,4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值

    S=()3×+()3×+()3×+13×.

    6.若做变速直线运动的物体v(t)=t2,在0≤ta内经过的路程为9,则a的值为(  )

    A.1  B.2  C.3  D.4

    答案 C

    解析 将区间0,a]n等分,记第i个区间为](i=1,2,…,n),此区间长为,用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积,则 ()2··(12+22+…+n2)=(1+)(1+)近似地等于速度曲线v(t)=t2与直线t=0,tat轴围成的曲边梯形的面积.依题意得(1+)(1+)]=9,

    =9,

    解得a=3.

    7.求直线x=0,x=2,y=0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积.

    解 令f(x)=x2.

    (1)分割

    将区间0,2] n等分,分点依次为

    x0=0,x1x2,…,xn-1xn=2.

    i个区间为](i=1,2,…,n),每个区间长度为Δx.

    (2)近似代替、求和

    ξi(i=1,2,…,n),

    Snf(Δx

    ()2·i2

    (12+22+…+n2)

    ·

    (2+).

    (3)取极限

    S=liSn=li (2+)=

    即所求曲边梯形的面积为.

    二、能力提升

    8. =________.

    答案 

    解析  (1+2+…+n)

    ·.

    9.在求由抛物线yx2+6与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积时,把区间1,2]等分成n个小区间,则第i个区间为________.

    答案 ]

    10.已知某物体运动的速度为vtt∈0,10],若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________.

    答案 55

    解析 ∵把区间0,10]10等分后,每个小区间右端点处的函数值为n(n=1,2,…,10),每个小区间的长度为1.

    ∴物体运动的路程近似值s=1×(1+2+…+10)=55.

    11.已知自由落体的运动速度vgt,求在时间区间0,t]内物体下落的距离.

    解 (1)分割:将时间区间0,t]分成n等份.

    把时间0,t]分成n个小区间,则第i个小区间为t](i=1,2,…,n),

    每个小区间所表示的时间段

    Δtt

    在各个小区间物体下落的距离记作

    Δsi(i=1,2,…,n).

    (2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.

    t]上任取一时刻ξi(i=1,2,…,n),

    可取ξi使v(ξi)=g·t近似代替第i个小区间上的速度,

    因此在每个小区间上自由落体Δt内所经过的距离可近似表示为

    Δsig·t·(i=1,2,…,n).

    (3)求和:

    snΔsig·t·

    0+1+2+…+(n-1)]

    gt2(1-).

    (4)取极限:s gt2(1-)=gt2.

    即在时间区间0,t]内物体下落的距离为gt2.

    三、探究与拓展

    12.某物体做变速运动,设该物体在时间t的速度为v(t)=,求物体在t=1到t=2这段时间内运动的路程s.

    解 (1)分割:将区间1,2]等分割成n个小区间1+,1+](i=1,2,…,n),区间长度为Δt,每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i=1,2,…,n),

    snsi.

    (2)近似代替:ξi=1+(i=1,2,…,n),

    Δsiv(1+)·Δt=6·()2·

    (i=1,2,…,n).

    (3)求和:

    sn

    =6n(+…+)

    =6n()=3.

    (4)取极限:

    ssn=3.

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