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    高中数学人教版新课标A选修1-2第二章 推理与证明综合与测试巩固练习

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修1-2第二章 推理与证明综合与测试巩固练习,共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    章末综合测评(二) 推理与证明

    (时间120分钟,满分150)

    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

    1.数列2,5,11,20x,47中的x等于(  )

    A28  B32

    C33 D27

    【解析】 观察知数列{an}满足:a12an1an3n,故x203×432.

    【答案】 B

    2(2016·汕头高二检测)有一段三段论推理是这样的:对于可导函数f(x),若f(x0)0,则xx0是函数f(x)的极值点.因为f(x)x3x0处的导数值f(0)0,所以x0f(x)x3的极值点.以上推理中(  )

    A.大前提错误 B.小前提错误

    C.推理形式错误 D.结论正确

    【解析】 大前提是错误的,若f(x0)0xx0不一定是函数f(x)的极值点,故选A.

    【答案】 A

    3.下列推理过程是类比推理的是(  )

    A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为

    B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼

    C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性

    D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数

    【解析】 A为归纳推理,CD均为演绎推理,B为类比推理.

    【答案】 B

    4.下面几种推理是合情推理的是(  )

    由圆的性质类比出球的有关性质;

    由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°

    f(x)sin x,满足f(x)=-f(x)xR,推出f(x)sin x是奇函数;

    三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n2)·180°.

    A①② B①③④

    C①②④ D②④

    【解析】 合情推理分为类比推理和归纳推理,是类比推理,②④是归纳推理,是演绎推理.

    【答案】 C

    5.设a21.522.5b7,则ab的大小关系是(  )

    Aa>b Bab

    Ca<b Da>2(b1)

    【解析】 因为a21.522.5>28>7,故a>b.

    【答案】 A

    6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比,易得到下列结论:a·bb·a(a·bca·(b·c)a·(bc)a·ba·c|a·b||a||b|a·ba·c(a0),可得bc.以上通过类比得到的结论中,正确的个数是(  )

    A2 B3

    C4 D5

    【解析】 ①③正确;②④⑤错误.

    【答案】 A

    7.证明命题:f(x)ex(0,+)上是增函数”.现给出的证法如下:因为f(x)ex,所以f(x)ex.因为x>0,所以ex>1,0<<1.所以ex>0,即f(x)>0.所以f(x)(0,+)上是增函数,使用的证明方法是(  )

    A.综合法 B.分析法

    C.反证法 D.以上都不是

    【解析】 从已知条件出发利用已知的定理证得结论,是综合法.

    【答案】 A

    8.已知c>1ab,则正确的结论是(  )

    【导学号:19220032

    Aa>b Ba<b

    Cab Dab大小不定

    【解析】 要比较ab的大小,由于c>1,所以a>0b>0,故只需比较的大小即可,

    显然>,从而必有a<b,故选B.

    【答案】 B

    9.设n为正整数,f(n)1,经计算得f(2)f(4)>2f(8)>f(16)>3f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论(  )

    Af(2n)> Bf(n2)

    Cf(2n) D.以上都不对

    【解析】 f(2)f(4)f(22)>f(8)f(23)>f(16)f(24)>f(32)f(25)>.

    由此可推知f(2n).故选C.

    【答案】 C

    10.定义A*BB*CC*DD*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4),则图中ab对应的运算是(  )

    1

    AB*DA*D BB*DA*C

    CB*CA*D DC*DA*D

    【解析】 根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线,B对应矩形,C对应竖线,D对应椭圆.由此可知选B.

    【答案】 B

    11.观察下列各式:ab1a2b23a3b34a4b47a5b511,则a10b10(  )

    A28 B76

    C123 D199

    【解析】 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10b10123.

    【答案】 C

    12.在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1,则b4b5b7b8的一个不等关系是(  )

    Ab4b8>b5b7 Bb4b8<b5b7

    Cb4b7>b5b8 Db4b7<b5b8

    【解析】 在等差数列{an}中,由于4637时,有a4·a6>a3·a7,所以在等比数列{bn}中,由于4857,所以应有b4b8>b5b7b4b8<b5b7.

    因为b4b1q3b5b1q4b7b1q6b8b1q7

    所以(b4b8)(b5b7)(b1q3b1q7)(b1q4b1q6)

    b1q6·(q1)b1q3(q1)(b1q6b1q3)(q1)

    b1q3(q31)(q1)

    因为q>1bn>0,所以b4b8>b5b7.

    【答案】 A

    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)

    13.已知xyR,且xy>2,则xy中至少有一个大于1,在用反证法证明时假设应为________

    【解析】 至少有一个的否定为一个也没有,故假设应为xy均不大于1(x1y1)

    【答案】 xy均不大于1(x1y1)

    14.如图2,第n个图形是由正n2边形扩展而来(n1,2,3),则第n2(n>2)个图形中共有________个顶点.

    2

    【解析】 设第n个图形中有an个顶点,

    a133×3a244×4

    an(n2)(n2)·(n2)an2n2n.

    【答案】 n2n

    15.设a>0b>0,则下面两式的大小关系为lg(1)________[lg(1a)lg(1b)]

    【解析】 因为(1)2(1a)(1b)12ab1abab

    2(ab)=-()20

    所以(1)2(1a)(1b)

    所以lg(1)[lg(1a)lg(1b)]

    【答案】 

    16(2016·杭州高二检测)对于命题如果O是线段AB上一点,则||0将它类比到平面的情形是:若OABC内一点,有SOBC·SOCA·SOBA·0,将它类比到空间的情形应为:若O是四面体ABCD内一点,则有_______________________________________________

    【导学号:19220033

    【解析】 根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面类比到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为VO­BCD·VO­ACD·VO­ABD·VO­ABC·0.

    【答案】 VO­BCD·VO­ACD·VO­ABD·VO­ABC·0

    三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

    17(本小题满分10)已知abc成等差数列,求证:abacb2acacbc也成等差数列.

    【证明】 因为abc成等差数列,所以2bac,所以(abac)(acbc)b(ac)2ac2(b2ac)

    所以abacb2acacbc也成等差数列.

    18(本小题满分12)在平面几何中,对于RtABCC90°,设ABcACbBCa,则

    (1)a2b2c2

    (2)cos2Acos2B1

    (3)RtABC的外接圆半径r.

    把上面的结论类比到空间写出类似的结论,无需证明.

    【解】 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.

    (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1S2S3,底面积为S,则SSSS2.

    (2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为αβγ,则cos2αcos2βcos2γ1.

    (3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为abc,则这个四面体的外接球半径R.

    19(本小题满分12)已知ABC的三条边分别为abc,且a>b,求证:<.

    【证明】 依题意a>0b>0

    所以1>0,1ab>0.

    所以要证<

    只需证(1ab)<(1)(ab)

    只需证<ab

    因为a>b,所以<2<ab

    所以<.

    20(本小题满分12)(2016·大同高二检测)在数列{an}中,a11an1nN*,求a2a3a4,并猜想数列的通项公式,并给出证明.

    【解】 数列{an}中,a11a2a3a4

    所以猜想{an}的通项公式an(nN*)

    此猜想正确.

    证明如下:

    因为a11an1

    所以

    所以数列是以1为首项,

    公差为的等差数列,

    所以1(n1)

    即通项公式an(nN*)

    21(本小题满分12)已知函数f(x)x3x2xR.

    (1)若正数mn满足m·n>1,证明:f(m)f(n)至少有一个不小于零;

    (2)ab为不相等的正实数且满足f(a)f(b),求证:ab<.

    【证明】 (1)假设f(m)<0f(n)<0

    m3m2<0n3n2<0

    m>0n>0

    m1<0n1<0

    0<m<1,0<n<1

    mn<1,这与m·n>1矛盾,

    假设不成立,即f(m)f(n)至少有一个不小于零.

    (2)证明:f(a)f(b),得a3a2b3b2

    a3b3a2b2

    (ab)(a2abb2)(ab)(ab)

    ab

    a2abb2ab

    (ab)2(ab)ab<2

    (ab)2(ab)<0

    解得ab<.

    22(本小题满分12)f(x)g(x)(其中a>0,且a1)

    (1)523,请你推测g(5)能否用f(2)f(3)g(2)g(3)来表示;

    (2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.

    【解】 (1)f(3)g(2)g(3)f(2)

    ··

    g(5)

    g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)

    (2)(1)g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)

    g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)

    于是推测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)

    证明:f(x)

    g(x)

    g(xy)

    g(y)f(y)

    f(x)g(y)g(x)f(y)

    ··

    g(xy)

     

     

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