数学人教版新课标A1.1回归分析的基本思想及其初步应用综合训练题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．ab>0 B．b>a

C．a<b<0 D．ab(a－b)<0

【解析】　由a<b<0⇒a3<b3<0⇒>，但>不能推出a<b<0.

∴a<b<0是>的一个充分不必要条件．

【答案】　C

2．求证：－1>－.

证明：要证－1>－，

只需证＋>＋1，

即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，

∵35>11，

∴原不等式成立．

以上证明应用了(　　)

A．分析法

B．综合法

C．分析法与综合法配合使用

D．间接证法

【解析】　该证明方法符合分析法的定义，故选A.

【答案】　A

3．(2016·汕头高二检测)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)

A．2ab－1－a2b2≤0

B．a2＋b2－1－≤0

C.－1－a2b2≤0

D．(a2－1)(b2－1)≥0

【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.

【答案】　D

4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)

A．a2<b2＋c2 B．a2＝b2＋c2

C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2

【解析】　由余弦定理得

cos A＝<0，

∴b2＋c2－a2<0，

即b2＋c2<a2.

【答案】　C

5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”，索的因应是(　　)

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

【解析】　由题意知<a⇐b2－ac<3a2

⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2

⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0

⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0

⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.

【答案】　C

二、填空题

6．(2016·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．

【解析】　∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.

【答案】　A≥B

7．(2016·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.

【导学号：19220024】

【解析】　要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.

【答案】　a>b>0

8．如图2­2­5，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．

图2­2­5

【解析】　要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.

【答案】　AC⊥BD(或底面为菱形)

三、解答题

9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.

【证明】　法一：分析法

要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．

只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，

又因a＋b>0，

只需证a2－ab＋b2>ab成立，

只需证a2－2ab＋b2>0成立，

即需证(a－b)2>0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，

由此命题得证．

法二：综合法

a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.

注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得

(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．

∴a3＋b3>a2b＋ab2.

10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.

【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，

只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2absin C，

即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，

因为2absin(C＋30°)≤2ab，

只需证a2＋b2≥2ab，

显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.

[能力提升]

1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则(　　)

A.<<

B.<<

C.<<

D．以上均可能

【解析】　先取特殊值检验，∵<，

可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，

则＝，满足<<.

∴B，C不正确．

要证<，∵a，b，c，d为正实数，

∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.

只需证<.而<成立，

∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．

【答案】　A

2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是(　　)

A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

B.＋>(a>0，b>0)

C.－<－(a≥3)

D.＋>2

【解析】　对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；

对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；

对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；

对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误．

【答案】　D

3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.

【导学号：19220025】

【解析】　由＋2>1＋，得<＋2－1，

即p<(＋2－1)2，

所以p<12＋4－4－2，

由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.

【答案】　12

4．(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1，求证：logx ＋logx ＋logx <logxa＋logxb＋logxc.

【证明】　要证明logx＋logx＋logx<logxa＋logxb＋logxc，

只需要证明logx<logx(abc)，

而已知0<x<1，故只需证明··>abc.

∵a，b，c是不全相等的正数，

∴≥>0，≥>0，≥>0，

∴··>＝abc.

即··>abc成立．

∴logx＋logx＋logx<logxa＋logxb＋logxc成立.