数学必修5第一章 解三角形综合与测试一课一练

这是一份数学必修5第一章 解三角形综合与测试一课一练，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若sin A＋cs A＝eq \f(7,12)，则这个三角形是( )
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
【解析】 若A≤90°，则sin A＋cs A≥1>eq \f(7,12)，∴A>90°.
【答案】 A
2．在△ABC中，内角A满足sin A＋cs A>0，且tan A－sin A<0，则A的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))
【解析】 由sin A＋cs A>0得eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))>0.
∵A是△ABC的内角，∴0又tan A由①②得，eq \f(π,2)【答案】 C
3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为( ) 【导学号：05920080】
A．(8,10)B．(2eq \r(2)，eq \r(10))
C．(2eq \r(2)，10)D．(eq \r(10)，8)
【解析】 设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cs A<12＋32＝10，
32＝1＋a2－2×acs B<1＋a2，
∴2eq \r(2)【答案】 B
4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16eq \r(2)，则三角形的面积为( )
A．2eq \r(2)B．8eq \r(2)
C.eq \r(2)D．eq \f(\r(2),2)
【解析】 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝8，
∴sin C＝eq \f(c,8)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(abc,16)＝eq \f(16\r(2),16)＝eq \r(2).
【答案】 C
5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D．eq \f(2π,3)
【解析】 p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0⇒eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)＝cs C.
∴C＝eq \f(π,3).
【答案】 B
6．在△ABC中，若sin Bsin C＝cs2eq \f(A,2)，则下面等式一定成立的是( )
A．A＝BB．A＝C
C．B＝CD．A＝B＝C
【解析】 由sin Bsin C＝cs2eq \f(A,2)＝eq \f(1＋cs A,2)⇒2sin Bsin C＝1＋cs A⇒cs(B－C)－cs(B＋C)＝1＋cs A.
又cs(B＋C)＝－cs A⇒cs(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.
【答案】 C
7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长等于( )
图1
A．210 mmB．200 mm
C．198 mmD．171 mm
【解析】 ∠ACB＝70°＋50°＝120°，在△ABC中应用余弦定理可以求出AB的长，即为DE的长．
【答案】 A
8．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A．3 B.eq \f(9\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．3eq \r(3)
【解析】 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝eq \f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcseq \f(π,3)＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
【答案】 C
9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC中，sin A＋sin B＝sin C(cs A＋cs B)，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
【解析】 由正弦定理和余弦定理得a＋b＝ceq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D.
【答案】 D
10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则A＝( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【解析】 由已知得a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，
又0°【答案】 C
11．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cs A等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D．0
【解析】 ∵CD为∠ACB的平分线，
∴D到AC与D到BC的距离相等．
∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．
∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(3,2).
由正弦定理eq \f(sin B,sin A)＝eq \f(3,2)，又∵B＝2A，
∴eq \f(sin 2A,sin A)＝eq \f(3,2)，即eq \f(2sin Acs A,sin A)＝eq \f(3,2)，∴cs A＝eq \f(3,4).
【答案】 C
12.如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cs θ( )
图2
A．2eq \r(3)＋1B．2eq \r(3)－1
C.eq \r(3)－1D．eq \r(3)＋1
【解析】 在△ABC中，BC＝eq \f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)
＝eq \f(100sin 15°,sin45°－15°)＝50(eq \r(6)－eq \r(2))，
在△BCD中，sin∠BDC＝eq \f(BCsin∠CBD,CD)
＝eq \f(50\r(6)－\r(2)sin 45°,50)＝eq \r(3)－1，
又∵cs θ＝sin∠BDC，∴cs θ＝eq \r(3)－1.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为 ．
【解析】 ∵cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，且∠C为钝角．
∴cs C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2【答案】 a2＋b214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .
【解析】 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝eq \f(5,3)b，c＝eq \f(7,3)b，
所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)b))2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)b))2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq \f(1,2).因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(2π,3).
【答案】 eq \f(2π,3)
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则eq \f(AC,cs A)的值等于 ，AC的取值范围为 ．
【解析】 设A＝θ⇒B＝2θ.
由正弦定理得eq \f(AC,sin 2θ)＝eq \f(BC,sin θ)，
∴eq \f(AC,2cs θ)＝1⇒eq \f(AC,cs θ)＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，
故30°<θ<45°⇒eq \f(\r(2),2)∴AC＝2cs θ∈(eq \r(2)，eq \r(3))．
【答案】 2 (eq \r(2)，eq \r(3))
16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ m.
图3
【解析】 根据图示，AC＝100eq \r(2) m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得eq \f(AC,sin 45°)＝eq \f(AM,sin 60°)⇒AM＝100eq \r(3) m.
在△AMN中，eq \f(MN,AM)＝sin 60°，
∴MN＝100eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝150(m)．
【答案】 150
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcs2A＝eq \r(2)a.
(1)求eq \f(b,a)；
(2)若c2＝b2＋eq \r(3)a2，求B.
【解】 (1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcs2A＝eq \r(2)sin A，即sin B(sin2A＋cs2A)＝eq \r(2)sin A.
故sin B＝eq \r(2)sin A，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2).
(2)由余弦定理和c2＝b2＋eq \r(3)a2，
得cs B＝eq \f(1＋\r(3)a,2c).
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋eq \r(3))a2.
可得cs2B＝eq \f(1,2)，又cs B>0，
故cs B＝eq \f(\r(2),2)，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cs B＝eq \f(3,5).
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】 (1)∵cs B＝eq \f(3,5)>0，且0∴sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4,5).
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(2×\f(4,5),4)＝eq \f(2,5).
(2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝4，
∴eq \f(1,2)×2×c×eq \f(4,5)＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝22＋52－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，∴b＝eq \r(17).
19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝eq \f(3π,4)，AB＝6，AC＝3eq \r(2)，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
【解】 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs ∠BAC＝(3eq \r(2))2＋62－2×3eq \r(2)×6×cs eq \f(3π,4)＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3eq \r(10).
又由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin ∠BAC,a)＝eq \f(3,3\r(10))＝eq \f(\r(10),10)，
由题设知0所以cs B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \r(1－\f(1,10))＝eq \f(3\r(10),10).
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝eq \f(AB·sin B,sinπ－2B)＝eq \f(6sin B,2sin Bcs B)＝eq \f(3,cs B)＝eq \r(10).
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】 如图所示，
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得cs β＝eq \f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq \f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq \f(1,7)，
∴sin β＝eq \f(4\r(3),7).
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcs 60°－sin 60°cs β＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,7)＝eq \f(5\r(3),14).
在△ACD中，eq \f(21,sin 60°)＝eq \f(AD,sin α)，
∴AD＝eq \f(21×sin α,sin 60°)＝15(千米)．
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cs 2C＋2eq \r(2)cs C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝eq \r(2)a，△ABC的面积为eq \f(\r(2),2)sin Asin B，求sin A及c的值. 【导学号：05920081】
【解】 (1)∵cs 2C＋2eq \r(2)cs C＋2＝0，
∴2cs2C＋2eq \r(2)cs C＋1＝0，即(eq \r(2)cs C＋1)2＝0，
∴cs C＝－eq \f(\r(2),2).
又C∈(0，π)，∴C＝eq \f(3π,4).
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcs C＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝eq \r(5)a，即sin C＝eq \r(5)sin A，
∴sin A＝eq \f(1,\r(5))sin C＝eq \f(\r(10),10).
∵S△ABC＝eq \f(1,2)absin C，且S△ABC＝eq \f(\r(2),2)sin Asin B，
∴eq \f(1,2)absin C＝eq \f(\r(2),2)sin Asin B，
∴eq \f(ab,sin Asin B)sin C＝eq \r(2)，由正弦定理得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,sin C)))2sin C＝eq \r(2)，解得c＝1.
22．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝msin x＋eq \r(2)cs x(m>0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)若△ABC中，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,4)))＝4eq \r(6)sin Asin B，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝3，求△ABC的面积．
【解】 (1)由题意，f(x)的最大值为eq \r(m2＋2)，所以eq \r(m2＋2)＝2.
又m>0，所以m＝eq \r(2)，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
令2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，
得2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)．
所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π)).
(2)设△ABC的外接圆半径为R，
由题意，得2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(3,sin 60°)＝2eq \r(3).
化简feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,4)))＝4eq \r(6)sin Asin B，
得sin A＋sinB＝2eq \r(6)sin Asin B.
由正弦定理，得2R(a＋b)＝2eq \r(6)ab，a＋b＝eq \r(2)ab.①
由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，
即(a＋b)2－3ab－9＝0.②
将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，
解得ab＝3或ab＝－eq \f(3,2)(舍去)，
故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(3),4).