人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试导学案

第9课时 解三角形复习课

(1)、(2)

学习要求

1． 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；

2． 能利用计算器解决三角形的计算问题。

【课堂互动】

自学评价

1．正弦定理：

(1)形式一：=  2R ；

形式二：；；；（角到边的转换）

形式三：，，；（边到角的转换）

形式四：；（求三角形的面积）

(2)解决以下两类问题：

    1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）

    2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。

(3)若给出那么解的个数为：

若，则无解；

若，则一解；

若，则两解；

2．余弦定理：

(1)形式一：，，

形式二：，，，（角到边的转换）

(2)解决以下两类问题：

1）、已知三边，求三个角；（唯一解）

2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

【精典范例】

一、判定三角形的形状

【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：

(1) 若a2tanB=b2tanA；

(2) b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;

(3) (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.

【解】(1)由已知及正弦定理得

(2RsinA)2 = (2RsinB)2

2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B

2cos(A + B)sin(A – B)=0

∴ A + B=90o 或 A – B=0

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

(2)由正弦定理得

sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC

∵ sinBsinC≠0,

∴ sinBsinC=cosBcosC,

即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,

故△ABC是直角三角形.

(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1 [2sincos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- 1]=0

 [2sincos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0

△ABC是Rt△.

二、三角形中的求角或求边长问题

【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。

分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。

【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，

所以  ，因为BE+EC=BC，所以，

所以  

当，。

注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。

【例3】在△ABC中，已知sinB=,

cosA=, 试求cosC的值。

【解】由cosA=，得sinA=,

∵ sinB<sinA, ∴ B中能是锐角

∴ cosB=,

又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB=.

【例4】在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.

分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形

的技能和运算能力.

【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=

在△BDE中利用余弦定理可得：

BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，

【例5】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.

     （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值.

【解】(Ⅰ)         =

=

= =

(Ⅱ) ∵

∴,

又∵

∴

 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

三、解平面几何问题

【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。

分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。

【解】

四边形ABCD的面积S=.

注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运

追踪训练一

1. △ABC中a=6,b=6 A=30°则边C=（ C ）

A、6    B、、12  C、6或12  D、6

2. △ABC中若sin(A+B) ，则△ABC是（ B ）

A 锐角三角形     B  直角三角形   

C  钝角三角形    D  等腰三角形

3. △ABC中若面积S=

则C=（ C  ）

A       B        C        D

4.△ABC中已知∠A=60°，AB =AC=8：5，面积为10，则其周长为    20     ;

5.△ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：c=     1::2       .           

【选修延伸】

四、解实际应用问题

【例7】某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。

【解】由已知得CD=21，BD=20，CB=31，

∠CAD=60°。设AD=x，AC=y。在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，

人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。

五、证明三角恒等式

【例8】在△ABC中，

求证： + +=0.

【证明】因为

=

=

==4R2(cosB – cosA),

同理 =4R2(cosC – cosB)

=4R2(cosA – cosC)

.所以左边=4R2(cosB – cosA) + 4R2(cosC – cosB) + 4R2(cosA – cosC)=0   得证.

【例9】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b, c, 证明：。

【证明】由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。

由正弦定理，，所以=。故等式成立。

追踪训练二

1．△ABC中若面积sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC 且周长为12，则其面积最大

值为         36(3－);

2．△ABC中已知sin(A+B)+sin(A+B)=,

cos(A+B)+cos(A+B)= 求角A和B

【解】

3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－

①求证：△ABC是等腰三角形  

②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2  求：的值

【解】

①°            

从而

△ABC是顶角为A的等腰三角形。

②在△ABC中由正弦定理     

在△BCD中由正弦定理