高中数学1.2 应用举例第2课时当堂检测题

 www.ks5u.com第一章　1.2　第2课时

一、选择题

1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳个场馆B、C的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　B

[解析]　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.

2．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　)

A．100m　　　　　 B．100m

C．50(＋)m D．200m

[答案]　A

[解析]　如图，由条件知，

AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)

＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)

＝25(＋)，

CD＝100cos75°＝25(－)，

BD＝＝＝25(3＋)．

∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)

＝100(m)．

3．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(　　)

A．10m B．20m

C．20m D．40m

[答案]　D

[解析]　设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，

∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．

4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是(　　)

A．min B．h

C．21.5min D．2.15h

[答案]　A

[解析]　当时间t<2.5h时，如图．

∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.

在△BCD中，利用余弦定理，得

CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.

当t＝＝(h)，即min时，CD2最小，即CD最小为.

当t≥2.5h时，CF＝15×，CF2＝>CD2，

故距离最近时，t<2.5h，即t＝min.

5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)

A．10m B．100m

C．20m D．30m

[答案]　D

[解析]　设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，

∴BC＝30.

6．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)

A．500m B．200m

C．1 000m D．1 000m

[答案]　D

[解析]　∵∠SAB＝45°－30°＝15°，

∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，

在△ABS中，AB＝＝

＝1 000，

∴BC＝AB·sin45°＝1 000×＝1 000(m)．

二、填空题

7．某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险(填“有”或“无”)．

[答案]　无

[解析]　如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，

∠BAC＝30°，

∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，

由正弦定理，得BC＝＝＝＝15(＋)．

在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.

∴此船无触礁的危险．

8．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？

[答案]　北偏东30°

[解析]　如图，设经过t h两船在C点相遇，

则在△ABC中，

BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，

由＝，

得sin∠CAB＝＝＝.

∵0°<∠CAB<90°，

∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.

即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．

三、解答题

9．如图所示，两点C、D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1、D1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)

[解析]　在△BC1D1中，∠BD1C1＝120°，∠C1BD1＝15°.由正弦定理＝，

∴BC1＝＝18＋6，∴A1B＝BC1＝18＋6，则AB＝A1B＋AA1≈29.89(m)．

10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

[解析]　设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝.

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠ABC＝sin∠BAC＝，

∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．

∴∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得

＝，

∴＝，

∴sin∠BCD＝，∴∠BCD＝30°.

故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船.

一、选择题

1．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为(　　)

A．2 500(－1)m B．5 000m

C．4 000m D．4 000m

[答案]　A

[解析]　示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，

∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.

由正弦定理，得＝，又cos75°＝，

∴BD＝·cos75°＝2 500(－1)(m)．

2．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)(　　)

A．14.5km/h B．15.6km/h

C．13.5km/h D．11.3km/h

[答案]　C

[解析]　由物理学知识，

画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，

∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，

在△ADC中，由余弦定理，得

AC＝

＝＝≈13.5(km/h)．

故选C．

3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为(　　)

A．20m B．30m

C．40m D．60m

[答案]　C

[解析]　设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，

在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，

∴AB＝OA－OB＝40.

4.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　)

A．15m B．20m

C．25m D．30m

[答案]　D

[解析]　设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得

cos∠PBA＝，①

cos∠PBC＝.②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③

由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，

即建筑物的高度为30m.

二、填空题

5．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m树根部为C(A、B、C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.

[答案]　30°

[解析]　如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，

∵∠DBC＝30°，∴BC＝10，

cos∠ACB＝＝，

∴∠ACB＝30°.

6．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m .

[答案]　150m

[解析]　本题考查解三角形中的应用举例．

如图，

在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，

∴AC＝100.

在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，

∴∠AMC＝45°.

由正弦定理知＝，

∴AM＝100.

在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，

∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m)．

三、解答题

7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sinα的值．

[解析]　(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BAC＝α.

由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.

解得BC＝28.

所以渔船甲的速度为＝14n mile/h.

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，

由正弦定理，得＝.

即sinα＝＝＝.

8．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．

问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．

[分析]　设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化．S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过th到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.

[解析]　如图，设台风中心经过th到达B点，由题意：

∠SAB＝90°－30°＝60°，

在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，

由余弦定理得：

SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB

＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°.

若S岛受到台风影响，则应满足条件

|SB|≤270即SB2≤2702，

化简整理得t2－10t＋19≤0，

解之得5－≤t≤5＋，

所以从现在起，经过(5－)h S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束，持续时间：

(5＋)－(5－)＝2(h)．

答：S岛从现在起经过(5－)h受到台风影响，且持续时间为2h.