高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例课后练习题

 www.ks5u.com课时达标检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义

一、选择题

1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)

A．30°　　　　　　　 　B．60°

C．120°   D．150°

答案：C

2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)

A．矩形   B．菱形

C．直角梯形   D．等腰梯形

答案：B

3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为(　　)

A．1  B.

C.  D.

答案：D

4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)

A.  B.

C．－   D．－

答案：A

5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·等于(　　)

A．2  B.

C.  D.

答案：D

二、填空题

6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.

答案：16

7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为________．

答案：

8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.

答案：

三、解答题

9．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：

(1)a·b；

(2)a2－b2；

(3)(2a－b)·(a＋3b)；

(4)|a＋b|.

解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3；

(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5；

(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a|·|b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34；

(4)|a＋b|＝＝＝＝.

10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在满足条件的θ，

∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.

∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．

∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.

∴|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2＝0.

∴

解得cos θ∈[，1]．

又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.

故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立．

11．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.

(1)求|b|的值；

(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．

解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.

∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.

(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，

|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，

∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.

令a＋b与a－b的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，

即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.