人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积同步达标检测题

能 力 提 升

一、选择题

1．(2013烟台模拟)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是(　　)

A.   B. 

C.   D．π

[答案]　A

[解析]　由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，∴a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，θ＝.

2．(2012泉州四校二次联考)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)

A．－8   B．8 

C．－8或8  D．6

[答案]　B

[解析]　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.

3．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)

A．外心   B．内心 

C．重心   D．垂心

[答案]　D

[解析]　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.

同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．

4．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　B

[解析]　由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝，θ＝.

5．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)

A．等边三角形   B．锐角三角形

C．直角三角形   D．钝角三角形

[答案]　C

[解析]　由－·＝·＋·，

得·(－)＝·(－)，

即·＝·，∴·＋·＝0，

∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，

所以△ABC是直角三角形，故选C.

6．如图，O、A、B是平面上的三点，向量＝a，＝b，设P为线段AB的垂直平分线上任意一点，向量＝p.若|a|＝4，|b|＝2，则p·(a－b)等于(　　)

A．1   B．3 

C．5   D．6

[答案]　D

[解析]　由图知⊥，则·＝0，p＝＝＋＝(＋)＋，

则p·(a－b)＝·(a－b)＝(a＋b)·(a－b)＋·(a－b)＝(a2－b2)＋·＝(|a|2－|b|2)＋0＝(42－22)＝6.

二、填空题

7．(2013·安徽文)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

[答案]　－

[解析]　本题主要考查了向量运算及夹角分式运用．

∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，

∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，

∴a·b＝－|b|2，

∴cos〈a·b〉＝＝＝－.

8．(2011～2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________；|2a－b|＝________.

[答案]　　2

[解析]　由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，

则a·b＝3.

设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，

又θ∈[0，π]，所以θ＝.

因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，

所以|2a－b|＝2.

9．(江西高考)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.

[答案]　

[解析]　|a－b|＝

＝＝.

三、解答题

10．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：

(1)a·b；(2)(3a)·；

(3)(3b－2a)·(4a＋b)．

[解析]　(1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60.

(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36.

(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.

11．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问：当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？

[解析]　∵(ka－b)⊥(a＋2b)，

∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，

即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，

即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，

∴k＝.∴当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．

12．设向量a、b的夹角是x，|a|＝，|b|＝3，m是b在a方向上的投影，求函数y＝|a|m的最大值和最小值．

[解析]　由题意得m＝|b|cosx＝3cosx，

∴y＝|a|m＝()3cosx.

由0≤x≤π，得－3≤3cosx≤3，

∴≤y≤8.故ymax＝8，ymin＝.