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所属成套资源：（浙教版）2021年九年级中考数学一轮复习专题训练
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试卷 第8讲 圆（含解析）-2021年九年级中考数学一轮复习专题训练（浙教版）
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这是一份试卷 第8讲 圆（含解析）-2021年九年级中考数学一轮复习专题训练（浙教版），文件包含第8讲圆巩固练习docx、第8讲圆巩固练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
圆巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
【分析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．
【解答】解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识，解题的关键是熟练掌握这些定理，难度不大．
2．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．291
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM=OA2-OM2=102-62=8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD=12AB=12×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=262-242=10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB=12∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是AC的中点，
∴∠AOB=12∠AOC=12×120°＝60°，
∴∠D=12∠AOB＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．140° B．70° C．110° D．80°
【分析】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
【解答】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠P=12∠AOB＝70°，
∵A、C、B、P四点共圆，
∴∠P+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．2+1 B．2+12 C．22+1 D．22-12
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝22，
∴CD＝22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12；
故选：B．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
8．如图的矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与AD、BC相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作DE的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接PC、QD，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．
【解答】解：甲，∵ED=EC，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为CD之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，
∴PC、QD为此圆直径，
∴PC与QD的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3π B．4π C．6π D．9π
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA=45，
∴ACAB=AC5=45，
∴AC＝4，
∴BC=AB2-AC2=3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B与AC的位置关系是相切，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
11．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC=12∠BOC＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG＝DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG＝OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．
【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG＝OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．
13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出答案；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO＝90°，
在△PCO和△PDO中，
CO=DOPO=POPC=PD，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
PC=PD∠CPB=∠DPBPB=PB，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC＝BD，
∴PC＝PD＝BC＝BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在△PCO和△BCA中，
∠CPO=∠CBPPC=BC∠PCO=∠BCA，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴PO＝AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，
∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，
∴∠PDB＝120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
14．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
15．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【分析】如图，连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF=12∠EOF＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共15小题）
16．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝ 50° ．
【分析】如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE＝25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
【解答】解：如图，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝∠AEB＝90°，
∵∠A＝65°，
∴∠ABE＝25°，
∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．
17．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 3 ．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，
在Rt△OCH中，OH=52-42=3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 26 寸．
【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD=BD=12AB=12尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【解答】解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，
∴AD=BD=12AB=12尺＝5寸，
设半径OA＝OE＝r寸，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解得：r＝13，
∴木材直径为26寸；
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 y=30x ．
【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴PBPA=PDPC，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴x3=10y，
∴xy＝30，
∴y=30x，
故答案为：y=30x．
【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC上，则∠ADC的度数是 60° ．
【分析】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根据圆周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝60°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠D+∠AOC＝180°，
∵∠AOC＝2∠D，
∴3∠D＝180°，
∴∠ADC＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且AB为50°，则∠E+∠C＝ 155 °．
【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．
【解答】解：连接EA，
∵AB为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝ 2：3 ．
【分析】根据相交弦定理得到AE•BE＝CE•DE，于是得到结论．
【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，
∴AE•BE＝CE•DE，
∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，
故答案为：2：3．
【点评】此题考查了相交弦定理，熟练掌握相交弦定理是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 32 ，线段DH长度的最小值为 13-2 ．
【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM＝2FN，推出EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题．
【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．
∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝3，
∵FQ∥PE，
∴△MFQ∽△MEP，
∴MFME=FQPE，
∵PE＝2FQ，
∴EM＝2MF，
∴EM＝2，FM＝1，
当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=AE2+ME2=22+22=22，MQ=FQ2+MF2=12+12=2，
∴PQ＝32，
∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，
∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，
∴OD=DN2+ON2=32+22=13，
∵BH⊥PQ，
∴∠BHM＝90°，
∵OM＝OB，
∴OH=12BM=12×22+22=2，
∵DH≥OD﹣OH，
∴DH≥13-2，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时DH最小，
∴DH的最小值为13-2，
故答案为32，13-2．
【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是 41-52 ．
【分析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相交弦定理可求DE．
【解答】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC=522，
∴OA=522，OF＝BF=52，
∴DF＝BD﹣BF=32，
∴OG=32，GD=52，
解法一：在Rt△AGO中，AG=OA2-OG2=412，
∴GE=412，
∴DE＝GE﹣GD=41-52．
解法二：在Rt△AGO中，AG=OA2-OG2=412，
∴AD＝AG+GD=41+52，
∵AD×DE＝BD×CD，
∴DE=4×141+52=41-52．
故答案为：41-52．
【点评】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的难点是求出AD的长．
26．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 3cm或5cm ．
【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．
【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
27．如图，已知直线y=-3x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为 23 ．
【分析】在直线y=-3x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x=433，可得OB＝4，OA=433，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．
【解答】解：如图，
在直线y=-3x+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x=433，
∴OB＝4，OA=433，
∴tan∠OBA=OAOB=33，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，
∴PQ=OP2-OQ2，
由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴OP=12OB＝2，
此时PQ=22-12=3，
BP=42-22=23，
∴OQ=12OP，即∠OPQ＝30°，
若使点P到直线a的距离最大，
则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴EP=12BP=3，
∴BE=(23)2-(3)2=3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∵OE=12OP，
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°，
即∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ 6 cm时，BC与⊙A相切．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD=12AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．
29．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或313 ．
【分析】根据勾股定理得到AB=122+182=613，AD=AC2+CD2=13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB=122+182=613，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD=AC2+CD2=13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴PDDA=PHAC，
∴PD13=612，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴APAB=PGAC，
∴AP613=612，
∴AP＝313，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或313，
故答案为：6.5或313．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
30．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
【分析】由切线的性质得出PA＝PB，PA⊥OA，得出∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．
三．解答题（共10小题）
31．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．
（1）求⊙O的半径；
（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；
（2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．
【解答】解：（1）连接AO，如右图1所示，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AG=12AB=4，
∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，
∴（3k）2+42＝（5k）2，
解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），
∴5k＝5，
即⊙O的半径是5；
（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，
连接OM，则∠MOD＝60°，
∴∠MOC＝120°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN＝MO•sin60°＝5×32=532，
∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×52360-12×5×532=25π3-2534，
即图中阴影部分的面积是：25π3-2534．
【点评】本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
32．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）AD=BC；
（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD知AB=CD，即AD+AC=BC+AC，据此可得答案；
（2）由AD=BC知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC，
∴AD=BC；
（2）由（1）知AD=BC，
∴AD＝BC，
∵AC=AC，BD=BD，
∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
【点评】本题主要考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
33．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．
【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，可得∠OAC＝90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA＝OD＝3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC，
又∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD＝90°＝∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）方法一、过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2＝AC2+AO2，
∴（OA+2）2＝16+OA2，
∴OA＝3，
∴OC＝5，BC＝8，
∵S△OAC=12×OA×AC=12×OC×AE，
∴AE=3×45=125，
∴OE=AO2-AE2=9-14425=95，
∴BE＝BO+OE=245，
∴AB=BE2+AE2=57625+14425=1255．
方法二、∵∠CAD＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴CDAC=ACBC=ADAB，
∴24=4BC=ADBA，
∴BC＝8，AB＝2AD，
∴BD＝6，
∵AB2+AD2＝BD2，
∴5AD2＝36，
∴AD=655，
∴AB＝2AD=1255．
【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
34．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积=2534．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM=12AD＝1，AM=AD2-DM2=22-12=3，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD=12CD•AM=12×3×3=332，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC=AM2+CM2=3+16=19，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC=19，
∴BN=32BC=572，
∴S△ABC=12×19×572=1934，
∴四边形ABCD的面积=1934+332=2534，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
∠E=∠BDC∠EAB=∠DCBAB=BC，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积=2534．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
35．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′＝2，OB′＝4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA＝42，
而r＝4，OA＝8，
∴OA′＝2，
∵OB′•OB＝42，
∴OB′＝4，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=A'B'OB'，
∴A′B′＝4sin60°＝23．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．
36．如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
（1）求证：asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．
【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sinA＝sinE=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，于是得到结论；
（2）由（1）得：ABsinC=BCsinA，得到AB=43×2232=42，2R=4332=8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（2+6），根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，
∴sinA＝sinE=BCBE=a2R，
∴asinA=2R，
同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，
∴asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R；
（2）解：由（1）得：ABsinC=BCsinA，
即ABsin45°=43sin60°=2R，
∴AB=43×2232=42，2R=4332=8，
过B作BH⊥AC于H，
∵∠AHB＝∠BHC＝90°，
∴AH＝AB•cos60°＝42×12=22，CH=22BC＝26，
∴AC＝AH+CH＝2（2+6），
∴sin∠B=AC2R=2(2+6)8=2+64．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角函数定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角函数定义是解题的关键．
37．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．
【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；
（2）根据勾股定理得到OF=OD2+DF2=6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝42，
∴OF=OD2+DF2=6，
∵OD∥AE，
∴ODAE=OFAF=DFEF，
∴2AE=68=42ED+42，
∴AE=83，ED=423，
∴tan∠EAD=DEAE=22．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
38．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
39．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若AC＝5，sin∠APC=513，求AP的长．
【分析】（1）根据已知条件得到∠PAD＝∠PAB，推出AD∥OP，根据平行线的性质得到PD⊥OP，于是得到DP是⊙O的切线；
（2）连接BC交OP于E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出四边形CDPE是矩形，得到CD＝PE，PD＝CE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵P是BC的中点，
∴PC=PB，
∴∠PAD＝∠PAB，
∵OA＝OP，
∴∠APO＝∠PAO，
∴∠DAP＝∠APO，
∴AD∥OP，
∵PD⊥AD，
∴PD⊥OP，
∴DP是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OP于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵P是BC的中点，
∴OP⊥BC，CE＝BE，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CD＝PE，PD＝CE，
∵∠APC＝∠B，
∴sin∠APC＝sin∠ABC=ACAB=513，
∵AC＝5，
∴AB＝13，
∴BC＝12，
∴PD＝CE＝BE＝6，
∵OE=12AC=52，OP=132，
∴CD＝PE=132-52=4，
∴AD＝9，
∴AP=AD2+PD2=92+62=313．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
40．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝23．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．
圆巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
【分析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．
【解答】解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识，解题的关键是熟练掌握这些定理，难度不大．
2．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．291
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM=OA2-OM2=102-62=8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD=12AB=12×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=262-242=10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB=12∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是AC的中点，
∴∠AOB=12∠AOC=12×120°＝60°，
∴∠D=12∠AOB＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．140° B．70° C．110° D．80°
【分析】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
【解答】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠P=12∠AOB＝70°，
∵A、C、B、P四点共圆，
∴∠P+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．2+1 B．2+12 C．22+1 D．22-12
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝22，
∴CD＝22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12；
故选：B．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
8．如图的矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与AD、BC相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作DE的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接PC、QD，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．
【解答】解：甲，∵ED=EC，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为CD之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，
∴PC、QD为此圆直径，
∴PC与QD的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3π B．4π C．6π D．9π
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA=45，
∴ACAB=AC5=45，
∴AC＝4，
∴BC=AB2-AC2=3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B与AC的位置关系是相切，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
11．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC=12∠BOC＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG＝DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG＝OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．
【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG＝OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．
13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出答案；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO＝90°，
在△PCO和△PDO中，
CO=DOPO=POPC=PD，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
PC=PD∠CPB=∠DPBPB=PB，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC＝BD，
∴PC＝PD＝BC＝BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在△PCO和△BCA中，
∠CPO=∠CBPPC=BC∠PCO=∠BCA，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴PO＝AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，
∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，
∴∠PDB＝120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
14．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
15．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【分析】如图，连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF=12∠EOF＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共15小题）
16．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝ 50° ．
【分析】如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE＝25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
【解答】解：如图，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝∠AEB＝90°，
∵∠A＝65°，
∴∠ABE＝25°，
∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．
17．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 3 ．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，
在Rt△OCH中，OH=52-42=3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 26 寸．
【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD=BD=12AB=12尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【解答】解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，
∴AD=BD=12AB=12尺＝5寸，
设半径OA＝OE＝r寸，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解得：r＝13，
∴木材直径为26寸；
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 y=30x ．
【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴PBPA=PDPC，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴x3=10y，
∴xy＝30，
∴y=30x，
故答案为：y=30x．
【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC上，则∠ADC的度数是 60° ．
【分析】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根据圆周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝60°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠D+∠AOC＝180°，
∵∠AOC＝2∠D，
∴3∠D＝180°，
∴∠ADC＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且AB为50°，则∠E+∠C＝ 155 °．
【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．
【解答】解：连接EA，
∵AB为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝ 2：3 ．
【分析】根据相交弦定理得到AE•BE＝CE•DE，于是得到结论．
【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，
∴AE•BE＝CE•DE，
∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，
故答案为：2：3．
【点评】此题考查了相交弦定理，熟练掌握相交弦定理是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 32 ，线段DH长度的最小值为 13-2 ．
【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM＝2FN，推出EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题．
【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．
∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝3，
∵FQ∥PE，
∴△MFQ∽△MEP，
∴MFME=FQPE，
∵PE＝2FQ，
∴EM＝2MF，
∴EM＝2，FM＝1，
当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=AE2+ME2=22+22=22，MQ=FQ2+MF2=12+12=2，
∴PQ＝32，
∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，
∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，
∴OD=DN2+ON2=32+22=13，
∵BH⊥PQ，
∴∠BHM＝90°，
∵OM＝OB，
∴OH=12BM=12×22+22=2，
∵DH≥OD﹣OH，
∴DH≥13-2，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时DH最小，
∴DH的最小值为13-2，
故答案为32，13-2．
【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是 41-52 ．
【分析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相交弦定理可求DE．
【解答】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC=522，
∴OA=522，OF＝BF=52，
∴DF＝BD﹣BF=32，
∴OG=32，GD=52，
解法一：在Rt△AGO中，AG=OA2-OG2=412，
∴GE=412，
∴DE＝GE﹣GD=41-52．
解法二：在Rt△AGO中，AG=OA2-OG2=412，
∴AD＝AG+GD=41+52，
∵AD×DE＝BD×CD，
∴DE=4×141+52=41-52．
故答案为：41-52．
【点评】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的难点是求出AD的长．
26．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 3cm或5cm ．
【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．
【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
27．如图，已知直线y=-3x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为 23 ．
【分析】在直线y=-3x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x=433，可得OB＝4，OA=433，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．
【解答】解：如图，
在直线y=-3x+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x=433，
∴OB＝4，OA=433，
∴tan∠OBA=OAOB=33，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，
∴PQ=OP2-OQ2，
由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴OP=12OB＝2，
此时PQ=22-12=3，
BP=42-22=23，
∴OQ=12OP，即∠OPQ＝30°，
若使点P到直线a的距离最大，
则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴EP=12BP=3，
∴BE=(23)2-(3)2=3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∵OE=12OP，
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°，
即∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ 6 cm时，BC与⊙A相切．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD=12AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．
29．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或313 ．
【分析】根据勾股定理得到AB=122+182=613，AD=AC2+CD2=13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB=122+182=613，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD=AC2+CD2=13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴PDDA=PHAC，
∴PD13=612，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴APAB=PGAC，
∴AP613=612，
∴AP＝313，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或313，
故答案为：6.5或313．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
30．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
【分析】由切线的性质得出PA＝PB，PA⊥OA，得出∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．
三．解答题（共10小题）
31．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．
（1）求⊙O的半径；
（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；
（2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．
【解答】解：（1）连接AO，如右图1所示，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AG=12AB=4，
∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，
∴（3k）2+42＝（5k）2，
解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），
∴5k＝5，
即⊙O的半径是5；
（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，
连接OM，则∠MOD＝60°，
∴∠MOC＝120°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN＝MO•sin60°＝5×32=532，
∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×52360-12×5×532=25π3-2534，
即图中阴影部分的面积是：25π3-2534．
【点评】本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
32．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）AD=BC；
（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD知AB=CD，即AD+AC=BC+AC，据此可得答案；
（2）由AD=BC知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC，
∴AD=BC；
（2）由（1）知AD=BC，
∴AD＝BC，
∵AC=AC，BD=BD，
∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
【点评】本题主要考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
33．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．
【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，可得∠OAC＝90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA＝OD＝3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC，
又∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD＝90°＝∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）方法一、过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2＝AC2+AO2，
∴（OA+2）2＝16+OA2，
∴OA＝3，
∴OC＝5，BC＝8，
∵S△OAC=12×OA×AC=12×OC×AE，
∴AE=3×45=125，
∴OE=AO2-AE2=9-14425=95，
∴BE＝BO+OE=245，
∴AB=BE2+AE2=57625+14425=1255．
方法二、∵∠CAD＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴CDAC=ACBC=ADAB，
∴24=4BC=ADBA，
∴BC＝8，AB＝2AD，
∴BD＝6，
∵AB2+AD2＝BD2，
∴5AD2＝36，
∴AD=655，
∴AB＝2AD=1255．
【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
34．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积=2534．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM=12AD＝1，AM=AD2-DM2=22-12=3，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD=12CD•AM=12×3×3=332，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC=AM2+CM2=3+16=19，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC=19，
∴BN=32BC=572，
∴S△ABC=12×19×572=1934，
∴四边形ABCD的面积=1934+332=2534，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
∠E=∠BDC∠EAB=∠DCBAB=BC，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积=2534．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
35．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′＝2，OB′＝4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA＝42，
而r＝4，OA＝8，
∴OA′＝2，
∵OB′•OB＝42，
∴OB′＝4，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=A'B'OB'，
∴A′B′＝4sin60°＝23．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．
36．如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
（1）求证：asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．
【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sinA＝sinE=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，于是得到结论；
（2）由（1）得：ABsinC=BCsinA，得到AB=43×2232=42，2R=4332=8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（2+6），根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，
∴sinA＝sinE=BCBE=a2R，
∴asinA=2R，
同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，
∴asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R；
（2）解：由（1）得：ABsinC=BCsinA，
即ABsin45°=43sin60°=2R，
∴AB=43×2232=42，2R=4332=8，
过B作BH⊥AC于H，
∵∠AHB＝∠BHC＝90°，
∴AH＝AB•cos60°＝42×12=22，CH=22BC＝26，
∴AC＝AH+CH＝2（2+6），
∴sin∠B=AC2R=2(2+6)8=2+64．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角函数定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角函数定义是解题的关键．
37．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．
【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；
（2）根据勾股定理得到OF=OD2+DF2=6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝42，
∴OF=OD2+DF2=6，
∵OD∥AE，
∴ODAE=OFAF=DFEF，
∴2AE=68=42ED+42，
∴AE=83，ED=423，
∴tan∠EAD=DEAE=22．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
38．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
39．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若AC＝5，sin∠APC=513，求AP的长．
【分析】（1）根据已知条件得到∠PAD＝∠PAB，推出AD∥OP，根据平行线的性质得到PD⊥OP，于是得到DP是⊙O的切线；
（2）连接BC交OP于E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出四边形CDPE是矩形，得到CD＝PE，PD＝CE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵P是BC的中点，
∴PC=PB，
∴∠PAD＝∠PAB，
∵OA＝OP，
∴∠APO＝∠PAO，
∴∠DAP＝∠APO，
∴AD∥OP，
∵PD⊥AD，
∴PD⊥OP，
∴DP是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OP于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵P是BC的中点，
∴OP⊥BC，CE＝BE，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CD＝PE，PD＝CE，
∵∠APC＝∠B，
∴sin∠APC＝sin∠ABC=ACAB=513，
∵AC＝5，
∴AB＝13，
∴BC＝12，
∴PD＝CE＝BE＝6，
∵OE=12AC=52，OP=132，
∴CD＝PE=132-52=4，
∴AD＝9，
∴AP=AD2+PD2=92+62=313．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
40．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝23．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．
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