试卷 2021年中考数学二轮专题复习圆 压轴题练习4.3（含答案）

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如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：CG=BG；
（3）若∠DBA=30°，CG=4，求BE的长．
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2=4CF·AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G=，AH=3，求EM的值．
如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG
(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB2=BC•BF；
(3)如图2，当∠DCE=2∠F，CE=3，DG=2.5时，求DE的长．
如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，
若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(﹣3，﹣7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点)，是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
(1)求该抛物线的函数关系表达式；
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

\s 0 答案解析
（1）证明：连接OC，∵∠A=∠CBD，
∴，∴OC⊥BD，
∵CE∥BD，∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵CF⊥AB，∴∠ACB=∠CFB=90°，
∵∠ABC=∠CBF，∴∠A=∠BCF，
∵∠A=∠CBD，∴∠BCF=∠CBD，
∴CG=BG；
（3）解：连接AD，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，
∵∠DBA=30°，∴∠BAD=60°，
∵，∴∠DAC=∠BAC=0.5∠BAD=30°，
∴=tan30°=，
∵CE∥BD，∴∠E=∠DBA=30°，∴AC=CE，
∴ =，
∵∠A=∠BCF=∠CBD=30°，
∴∠BCE=30°，∴BE=BC，∴△CGB∽△CBE，
∴ ==，∵CG=4，∴BC=，∴BE=．
解：（1）如图所示，连接OD，
∵AB=AC，
∴，
而OB=OD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，则，则AB=AC，
则，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，即；
（3）连接OE，
∵，
∴，
∴，
，
解：
解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACF=90°，
∵点G是EF的中点，
∴GF=GE=GC，
∴∠AEO=∠GEC=∠GCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO=90°，
∴∠OCA+∠GCE=90°，即OC⊥GC，
∴CG与⊙O相切；
（2）∵∠AOE=∠FCE=90°，∠AEO=∠FEC，
∴∠OAE=∠F，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△FBO，BO•AB=BC•BF，
∵AB=2BO，
∴2OB2=BC•BF；
（3）由（1）知GC=GE=GF，
∴∠F=∠GCF，
∴∠EGC=2∠F，
又∵∠DCE=2∠F，
∴∠EGC=∠DCE，
∵∠DEC=∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，∴，
∵CE=3，DG=2.5，∴，
整理，得：DE2+2.5DE﹣9=0，解得：DE=2或DE=﹣4.5（舍），
故DE=2．
解：
解：
(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5…①，
令y=0，则x=﹣1或﹣5，即点C(﹣1，0)；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y=x+1…②，
设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，
S△PBC=PG(xC﹣xB)=(t+1﹣t2﹣6t﹣5)=﹣t2﹣t﹣6，
∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t=﹣时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为(﹣，﹣)，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y=﹣x+m，将点(﹣，﹣)代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y=﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y=2x+2…④，
联立③④并解得：x=﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，
同理可得直线BH的表达式为：y=x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x=﹣或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(﹣，﹣)；
当点P(P′)在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y=2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s=5，
即直线BP′的表达式为：y=2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x=0或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(0，5)；
故点P的坐标为P(﹣，﹣)或(0，5)．
解：
(1)二次函数表达式为：y=a(x﹣1)2+9，
将点A的坐标代入上式并解得：a=﹣1，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+8…①，
则点B(3，5)，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y=2x﹣1；
(2)存在，理由：
二次函数对称轴为：x=1，则点C(1，1)，过点D作y轴的平行线交AB于点H，
(3)设点Q(m，0)、点P(s，t)，t=﹣s2+2s+8，
①当AM是平行四边形的一条边时，
点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，
同理，点Q(m，0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m﹣4，﹣16)，即为点P，
即：m﹣4=s，﹣6=t，而t=﹣s2+2s+8，
解得：s=6或﹣4，
故点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：m+s=﹣2，t=2，而t=﹣s2+2s+8，
解得：s=1，
故点P(1，2)或(1﹣，2)；
综上，点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)或(1，2)或(1﹣，2)．
解：
(1))∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)，
把A、B两点坐标代入上式，，解得：，
故抛物线函数关系表达式为y=x2﹣2x﹣3；
(2)∵A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB=OA+OB=1+3=4，
∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB=90°，∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠OPE=∠PCB，
又∵∠EOP=∠PBC=90°，
∴△POE∽△CBP，∴，设OP=x，则PB=3﹣x，
∴，∴OE=，
∵0＜x＜3，∴时，线段OE长有最大值，最大值为．
即OP=时，线段OE有最大值．最大值是．
(3)存在．
如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴x=0，y=﹣3，∴N点坐标为(0，﹣3)，
设直线BN的解析式为y=kx+b，∴，∴，
∴直线BN的解析式为y=x﹣3，
设M(a，a2﹣2a﹣3)，则H(a，a﹣3)，
∴MH=a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)=﹣a2+3a，
∴S△MNB=S△BMH+S△MNH===，
∵，∴a=时，△MBN的面积有最大值，最大值是，
此时M点的坐标为()．
解：