中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习八（含答案）

中考数学二轮专题复习

《函数压轴题》专项练习八

1.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
(1)求b、c的值；
(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

2.已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(﹣3，﹣7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C．

(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式．

(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点)，是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

3.如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，且OA=OB．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点M为AB的中点，且∠PMQ=45°，∠PMQ在AB的同侧，以点M为旋转中心将∠PMQ旋转，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．

设AD=m(m＞0)，BC=n，求n与m之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时，直接写出∠PMQ的另一边与x轴的交点坐标．

4.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；

(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4k＋4与抛物线y=x2﹣x交于A、B两点.

(1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；

(2)点P在抛物线上，当k=﹣时，解决下列问题：

①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；

②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2＋3x与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于O、B两点，点A、B的坐标分别为(3，0)、(2，2)．点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，MN与点B始终在PQ同侧，且PN=1．设点P的横坐标为m(m＞0)，矩形PQMN的周长为C．

(1)用含m的代数式表示点P的坐标．

(2)求C与m之间的函数关系式．

(3)当矩形PQMN是正方形时，求m的值．

(4)直接写出矩形PQMN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．

0.参考答案

1.解：(1)∵CD∥x轴，CD=2，

∴抛物线对称轴为x=1．∴-b=1，b=-2．
∵OB=OC，C(0，c)，∴B点的坐标为(-c，0)，
∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0(舍去)，
∴c=-3；
(2)设点F的坐标为(0，m)．
∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为(2，m)．
由(1)可知抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，

∴E(1，--4)，
∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，-4)，
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x-6．
∵点F在BE上，

∴m=2×2-6=-2，即点F的坐标为(0，-2)；
(3)存在点Q满足题意．
设点P坐标为(n，0)，则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN=S△APM，∴ (n+1)(3−n)=(−n2+2n+3)∙QR，∴QR=1．
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n-1，n2-4n)，

R点的坐标为(n，n2-4n)，N点的坐标为(n，n2-2n-3)．
∴在Rt△QRN中，NQ2=1+(2n-3)2，
∴n=时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为(，−)；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n+1，n2-4)．
同理，NQ2=1+(2n-1)2，
∴n=时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为(，−)．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为(，−)或(，−)．

2.解：(1)二次函数表达式为：y=a(x﹣1)2+9，

将点A的坐标代入上式并解得：a=﹣1，

故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+8…①，

则点B(3，5)，

将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AB的表达式为：y=2x﹣1；

(2)存在，理由：

二次函数对称轴为：x=1，则点C(1，1)，过点D作y轴的平行线交AB于点H，

(3)设点Q(m，0)、点P(s，t)，t=﹣s2+2s+8，

①当AM是平行四边形的一条边时，

点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，

同理，点Q(m，0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m﹣4，﹣16)，即为点P，

即：m﹣4=s，﹣6=t，而t=﹣s2+2s+8，

解得：s=6或﹣4，

故点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)；

②当AM是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：m+s=﹣2，t=2，而t=﹣s2+2s+8，

解得：s=1±，故点P(1+，2)或(1﹣，2)；

综上，点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)或(1，2)或(1﹣，2)．

3.解：(1)由抛物线y=ax2﹣2ax﹣4，得B(0，﹣4)，OB=4．

∵OA=OB=4，且点A在x轴正半轴上，∴A(4，0)．

将A(4，0)代入y=ax2﹣2ax﹣4，得16a﹣8a﹣4=0，解得a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4；

(2)∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=4，

∴∠ADM+∠AMD=135°，AM=BM=2．

∵∠CMD=45°，∴∠AMD+∠BMC=135°，

∴∠ADM=∠BMC，∴△ADM∽△BMC，∴=．

∵AD=m，BC=n，∴=，∴n=，

∴n与m之间的函数关系式为n=；

(3)设抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴另一个交点为E，

令y=0，得x2﹣x﹣4=0，解得x1=4，x2=﹣2，

∴点E的坐标为(﹣2，0)．

∵A(4，0)，B(0，﹣4)，M为AB的中点，∴M的坐标为(2，﹣2)．

①当MP经过点(﹣2，0)时，设直线PM的解析式为y=mx+n，

则有，解得，∴直线PM的解析式为y=﹣x﹣1．

当x=0时，y=﹣1，∴点C的坐标为(0，﹣1)，∴n=BC=﹣1﹣(﹣4)=3，

∴m=，即AD=，∴OD=4﹣=，∴MQ与x轴交点为(，0)；

②当MQ经过点(﹣2，0)时，同理可得：MP与x轴交点为(8，0)．

4.解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，

∴设抛物线解析式为y=a(x＋2)(x﹣4)，

∴﹣8a=4，∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣(x＋2)(x﹣4)=﹣x2＋x＋4；

(2)如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由(1)知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴=，

设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′(2h，h＋4)

∵点E′在抛物线上，

∴﹣(2h)2＋2h＋4=h＋4，

∴h=0(舍)h=

∴E′(1，4.5)，

②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，连接CE，过E作EF⊥CD，垂足为F，

由(1)知，OC=4，∵∠ACO=∠ECF，

∴tan∠ACO=tan∠ECF，∴=，

设线段EF=h，则CF=2h，

∴点E(2h，4﹣h)

∵点E在抛物线上，

∴﹣(2h)2＋2h＋4=4﹣h，∴h=0(舍)h=1.5

∴E(3，2.5)，

点E的坐标为(1，4.5)，(3，2.5)

(3)①CM为菱形的边，如图2，

在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，

∵四边形CM′P′N′是菱形，

∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，

∵OC=OB，∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，

设点P′(m，﹣m2＋m＋4)，在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴直线BC的解析式为y=﹣x＋4，

∵P′N′∥y轴，

∴N′(m，﹣m＋4)，

∴P′N′=﹣m2＋m＋4﹣(﹣m＋4)=﹣m2＋2m，

∴m=﹣m2＋2m，∴m=0(舍)或m=4﹣2，

菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4．

②CM为菱形的对角线，如图3，

在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，

交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，

∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，

∵四边形CPMN是菱形，

∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，

∵∠OCB=45°，

∴∠NCQ=45°，

∴∠PCQ=45°，

∴∠CPQ=∠PCQ=45°，

∴PQ=CQ，

设点P(n，﹣n2＋n＋4)，

∴CQ=n，OQ=n＋4，∴n＋4=﹣0.5n2＋n＋4，∴n=0(舍)，

∴此种情况不存在．

∴菱形的边长为4﹣4．

5.解：(1)∵y=kx﹣4k＋4=k(x﹣4)＋4，

即k(x﹣4)=y﹣4，

而k为任意不为0的实数，

∴x﹣4=0，y﹣4=0，解得x=4，y=4，

∴直线过定点(4，4)；

(2)当k=﹣时，直线解析式为y=﹣x＋6，

解方程组得或，

则A(6，3)、B(﹣4，8)；

①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，

设P(x，x2﹣x)，则Q(x，﹣x＋6)，

∴PQ=(﹣x＋6)﹣(x2﹣x)=﹣(x﹣1)2＋，

∴S△PAB=(6＋4)×PQ=﹣(x﹣1)2＋=20，解得x1=﹣2，x2=4，

∴点P的坐标为(4，0)或(﹣2，3)；

②设P(x，x2﹣x)，如图2，

由题意得：AO=3，BO=4，AB=5，

∵AB2=AO2＋BO2，

∴∠AOB=90°，

∵∠AOB=∠PCO，

∴当=时，△CPO∽△OAB，

即=，整理得4|x2﹣x|=3|x|，

解方程4(x2﹣x)=3x得x1=0(舍去)，x2=7，此时P点坐标为(7，)；

解方程4(x2﹣x)=﹣3x得x1=0(舍去)，x2=1，此时P点坐标为(1，﹣)；

当=时，△CPO∽△OBA，即=，整理得3|x2﹣x|=4|x|，

解方程3(x2﹣x)=4x得x1=0(舍去)，x2=，此时P点坐标为(，)；

解方程3(x2﹣x)=﹣4x得x1=0(舍去)，x2=﹣，此时P点坐标为(﹣，)

综上所述，点P的坐标为：(7，)或(1，﹣)或(﹣，)或(，).

6.解：(1)∵P在抛物线y=﹣x2＋3x上，且点P的横坐标为m(m＞0)，

∴点P的坐标为：(m，﹣m2＋3m)

(2)∵PQ∥y轴，∴Q(m，m)．

①当0＜m＜2时，如图1中，PQ=﹣m2＋3m﹣m=﹣m2﹣2m，

C=2(﹣m2＋2m)＋2=﹣2m2＋4m＋2．

②当m＞2时，如图2中，PQ=m﹣(﹣m2＋3m)=m2﹣2m，

C=2(m2﹣2m)＋2=2m2﹣4m＋2．

(3)∵矩形PQMN是正方形，∴PQ=PN=1，

当0＜m＜2时，如图3中，﹣m2＋2m=1，解得m1=m2=1．

当m＞2时，如图4中，m2﹣2m=1，

解得m1=1＋，m2=1﹣(不合题意舍弃)；

(4)由图3可知当m=1时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；

∵抛物线y=﹣x2＋3x=﹣(x﹣)2＋∴顶点的坐标为(，)，

当M点在抛物线上时，∵Q(m，m)．∴M(m＋1，m＋1)，

∴m＋1=﹣(m＋1)2＋3(m＋1)，解得m=2，

∴当≤m＜2时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；

当Q的纵坐标为时，Q的横坐标为，∴此时P的横坐标为，

∴当m≥时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点；

综上，当m=1或≤m＜2或m≥时矩形PQMN的边与抛物线有两个交点．