中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习七（含答案）

中考数学二轮专题复习

《函数压轴题》专项练习七

1.如图1，已知二次函数y＝ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，连接AB、AC.

(1)请直接写出二次函数y＝ax2＋x＋c的表达式；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；

(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标.

2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B,与直线AC:y=-x-6交y轴于点C、D，点D是抛物线的顶点,且横坐标为-2．                           

(1)求出抛物线的解析式。

(2)判断△ACD的形状,并说明理由。

(3)直线AD交y轴于点F,在线段AD上是否存在一点P ,使∠ADC=∠PCF .若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,说明理由。             

3.已知抛物线y=ax2﹣bx﹣c经过原点O及点A(﹣4，0)和点C(2，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，将直线y=2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过C点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点F．若P是抛物线上一点，且PC=PF，求点P的坐标；

(3)如图2，将(1)中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标．(直接写出结果，不要解答过程)

4.如图，经过点A(0，﹣4)的抛物线y=x2＋bx＋c与x轴相交于点B(﹣1，0)和C，O为坐标原点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线y=x2＋bx＋c向上平移3.5个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求AM的长．

5.如图，已知顶点为C(0，﹣3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.

(1)求m的值；

(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD的顶点A在直线y=2x+4上，点B在第二象限，C，D两点均在x轴上，且点C在点D的左侧，抛物线y=﹣(x﹣m)2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，且这条抛物线交y轴于点E．

(1)写出A，C两点的坐标；

(2)当抛物线y=﹣(x﹣m)2+n经过点C时，求抛物线所对应的函数表达式；

(3)当点E在AC所在直线上时，求m的值；

(4)当点E在x轴上方时，连接CE，DE，当△CDE的面积随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

0.参考答案

1.解：(1)∵二次函数y＝ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，

∴，解得.

∴抛物线表达式：y＝﹣x2＋x＋4；

(2)△ABC是直角三角形.

令y＝0，则﹣x2＋x＋4＝0，解得x1＝8，x2＝﹣2，

∴点B的坐标为(﹣2，0)，

由已知可得，在Rt△ABO中AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，

在Rt△AOC中AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80，

又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10，

∴在△ABC中AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2

∴△ABC是直角三角形.

(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝4，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为(﹣8，0)，

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为(8﹣4，0)或(8＋4，0)

③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为(3，0)，

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为(﹣8，0)、(8﹣4，0)、(3，0)、(8＋4，0).

(4)如图，AB＝2，BC＝8﹣(﹣2)＝10，AC＝4，

∴AB2＋AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°.

∴AC⊥AB.

∵AC∥MN，

∴MN⊥AB.

设点N的坐标为(n，0)，则BN＝n＋2，

∵MN∥AC，

△BMN∽△BAC

当n＝3时，△AMN面积最大是5，

∴N点坐标为(3，0).

∴当△AMN面积最大时，N点坐标为(3，0).

2.解：(1)由直线AC：y=﹣x﹣6，可得A(﹣6，0)，C(0，﹣6)，                                                       

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，抛物线的顶点D的横坐标为﹣2，∴B(2，0)．                                                       

把A、B、C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c，得                                                       

，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣6；                                                       

(2)△ACD是直角三角形，理由如下：

∵y=x2+2x﹣6=(x+2)2﹣8，∴顶点D的坐标是(﹣2，﹣8)．             

∵A(﹣6，0)，C(0，﹣6)，∴AC2=62+62=72，CD2=22+(﹣8+6)2=8，AD2=(﹣2+6)2+82=80，

∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；

(3)假设在线段AD上存在一点P，使∠ADC=∠PCF．

设直线AD的解析式为y=mx+n，

∵A(﹣6，0)，D(﹣2，﹣8)，

∴，解得，

∴直线AD的解析式为y=﹣2x﹣12，                                         

∴F点坐标为(0，﹣12)，设点P的坐标为(x，﹣2x﹣12)．

∵∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，∴∠DFC=∠PCD．

在△CPD与△FPC中，，∴△CPD∽△FPC，∴=

∴=，整理得，35x2+216x+324=0，             

解得x1=﹣，x2=﹣(舍去)，当x=﹣时，﹣2x﹣12=﹣2×(﹣)﹣12=﹣，

故所求点P的坐标为(﹣，﹣)．             

3.解：(1)∵抛物线y=ax2﹣bx﹣c经过原点O及点A(﹣4，0)和点C(2，3)，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x；

∵y=x2﹣x=(x﹣2)2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为(﹣2，﹣1)；

(2)如图1：直线l的解析式为y=2x﹣n，

∵直线l过点C(2，3)，

∴n=1，

∴直线l的解析式为y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，即D(0，﹣1)．

∵抛物线的对称轴为x=﹣2，

∴E(﹣2，0)．

当x=﹣2时，y=2x﹣1=﹣5，即F(﹣2，﹣5)，

∴CD=DF=2，

∴点D是线段CF的中点，

∵C(2，3)，

∴EF=EC=5，∴ED垂直平分CF．∴PC=PF，

∴点P在CF的垂直平分线上，

∴点P是抛物线与直线ED的交点．

ED的解析式为y=﹣x﹣1．联立抛物线与ED，得

，解得，，

点P的坐标(﹣3﹣，-)或(﹣3﹣，)；

(3)如图2：移后的抛物线为y=x2﹣x﹣4

平行于CD与物线相切的直线为y=2x﹣b，联立，得x2﹣x﹣4=2x﹣b

方程有相等二实根，得△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×(4﹣b)=0解得b=3．

x2﹣x﹣1=0，解得x=2，y=2x﹣3=7，

新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标是(2，7)．

4.解：(1)将A(0，﹣4)、B(﹣2，0)代入抛物线y=x2+bx+c中，得：

解得： b=﹣1 c=﹣4

∴抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4．

(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=(x+m)2﹣(x+m)﹣4+，

即：y=x2+(m﹣1)x+m2﹣m﹣；

它的顶点坐标P：(1﹣m，﹣1)；

由(1)的抛物线解析式可得：C(4，0)；

那么直线AB：y=﹣2x﹣4；直线AC：y=x﹣4；

当点P在直线AB上时，﹣2(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=；

当点P在直线AC上时，(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；

∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜；

又∵m＞0，

∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．

(3)由A(0，﹣4)、B(4，0)得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；

如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN×AM1；

易得：AB2=(﹣2)2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；

∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1﹣OA=10﹣4=6；

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．

综上，AM的长为6或2．

5.解：(1)将(0，﹣3)代入y=x+m，

可得：m=﹣3；

(2)将y=0代入y=x﹣3得：x=3，

所以点B的坐标为(3，0)，

将(0，﹣3)、(3，0)代入y=ax2+b中，

可得：，解得：，

所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；

(3)存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，

∴OD=OC•tan30°=，

设DC为y=kx﹣3，代入(，0)，可得：k=，

联立两个方程可得：，解得：，

所以M1(3，6)；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，

∴OE=OC•tan60°=3，

设EC为y=kx﹣3，代入(3，0)可得：k=，

联立两个方程可得：，解得：，

所以M2(，﹣2)，

综上所述M的坐标为(3，6)或(，﹣2).

6.解：(1)∵正方形的边长为1，∴点A的纵坐标为1．

∵将y=1代入y=2x+4得：2x+4=1，解得；x=﹣1.5，

∴A(﹣1.5，1)．∴D(﹣1.5，0)

∵CD=1，∴C(-2.5，0)

(2)∵抛物线y=﹣(x﹣m)2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，∴n=2m+4．

∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣m)2+2m+4．

∵抛物线经过点C(﹣2.5，0)，∴(﹣2.5﹣m)2+2m+4=0．解得：m1=m2=﹣1.5．

∴n=2×(﹣1.5)+4=1．

∴抛物线的解析式为y=﹣(x+1.5)2+1(y=﹣x2﹣3x﹣)．

(3)∵抛物线y=﹣(x﹣m)2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，∴n=2m+4．

∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣m)2+2m+4．

∵将x=0代入得：y=﹣m2+2m+4．∴E(0，﹣m2+2m+4)．

设直线AC的解析式为y=kx+b．

∵将A(﹣1.5，1、C(2.5，0)代入得：，解得k=1，b=2.5，

∴直线AC的解析式为y=x+2.5．∵点E在直线AC上，∴﹣m2+2m+4=2.5．

解得：m1=1﹣，m2=1+．

(4)S△CDE=DC•EO=﹣m2+m+2，

∵m=﹣=1，a=﹣＜0，∴当m≤1时，y随x的增大而增大．

令﹣m2+m+2=0，解得：m1=1﹣，m2=1+(舍去)．

∵点E在x轴的上方，∴m＞1﹣．∴m的范围是1﹣＜m≤1．