2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习九(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习九

1.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A(﹣5，0)、B(﹣1，0)，与y轴交于点C(0，﹣5)，点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)若点P的坐标为(﹣2，3)，请求出此时△APC的面积；

(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为(﹣1，﹣4)，且与x轴交于点A，点B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．

(1)填空：b=   ，c=    ，直线AC的解析式为           ；

(2)直线x=t与x轴相交于点H．

①当t=﹣3时得到直线AN(如图1)，点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD=∠MAN，求出此时点D的坐标；

②当﹣3＜t＜﹣1时(如图2)，直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．

3.如图,抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)经过点A(4,-5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为D；

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；

(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标；

4.已知抛物线y=0.5x2+bx+c经过点A(﹣2，0)，B(0、﹣4)与x轴交于另一点C，连接BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；

(3)在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

5.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图像回答：当直线y=0.5x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．

（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；

（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；

（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

7.如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=0.2EF，请求出点P的坐标；

（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

8.如图，直线y=x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心， CE的长为半径作圆，点P为直线y=x﹣3上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△BDP周长的最小值；

（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．

0.答案解析

1.解：

2.解：

(1)∵抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为(﹣1，﹣4)，

∴，解得：，∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3，

令y=0，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，

令x=0，得y=﹣3，∴C(0，﹣3)，设直线AC的解析式为：y=kx+b，

将A(﹣3，0)，C(0，﹣3)代入，得：，解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3；故答案为：2，﹣3，y=﹣x﹣3．

(2)①设点D的坐标为(m，m2+2m﹣3)，∵∠COD=∠MAN，∴tan∠COD=tan∠MAN，

∴=，解得：m=±，∵﹣3＜m＜0，∴m=﹣，

故点D的坐标为(﹣，﹣2)；

②设直线AM的解析式为y=mx+n，将点A(﹣3，0)、M(﹣1，﹣4)代入，

得：，解得：，∴直线AM的解析式为：y=﹣2x﹣6，

∵当x=t时，HE=﹣(﹣t﹣3)=t+3，HF=﹣(﹣2t﹣6)=2t+6，HP=﹣(t2+2t﹣3)，

∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=﹣t2﹣4t﹣3，

∵HE+EF﹣FP=2(t+3)+t2+4t+3=(t+3)2＞0，∴HE+EF＞FP，

又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，∴当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；

由题意得： =，即=，整理得：5t2+26t+33=0，

解得：t1=﹣3，t2=﹣，∵﹣3＜t＜﹣1，∴t=﹣．

3.解：

4.解：

5.解：

(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3．

(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；

当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；

当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．

综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．

当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．                

(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线y=0.5x+b经过A点时，可得b=1.5；

当直线y=0.5x+b经过B点时，可得-0.5．

由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为-0.5<b<1.5．

6.解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．

∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），

∵C（0，4）在抛物线上，∴4=﹣27a，

∴a=﹣，

∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，

∵CD垂直于y轴，C（0，4）∴﹣x2+x+4=4，∴x=6，∵D（6，4），

（2）如图1，

∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，

∴F（3，），∴FH=，

∵GH∥A1O1，∴，∴，∴GH=1，

∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，

∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．

（3）①当0＜t≤3时，如图2，

∵C2O2∥DE，∴，∴，

∴O2G=t，∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，

②当3＜t≤6时，如图3，

∵C2H∥OC，∴，∴，∴C2H=（6﹣t），

∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）

=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）=t2﹣3t+12

∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．

7.解：

（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）．

∵点C（0，﹣8）在抛物线y=a（x+2）（x﹣4）上，∴﹣8a=﹣8．∴a=1．

∴y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8，顶点D的坐标为（1，﹣9）．

（2）如图，设直线CD的解析式为y=kx+b．∴解得：．

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．当y=0时，﹣x﹣8=0，

则有x=﹣8．∴点E的坐标为（﹣8，0）．

设点P的坐标为（m，n），

则PM=（m2﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m2﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．

∵PM=0.2EF，∴m2﹣m=0.2（m+8）．

整理得：5m2﹣6m﹣8=0．∴（5m+4）（m﹣2）=0解得：m1=﹣0.8，m2=2．

∵点P在对称轴x=1的右边，∴m=2．此时，n=22﹣2×2﹣8=﹣8．

∴点P的坐标为（2，﹣8）．

（3）当m=2时，y=﹣2﹣8=﹣10．∴点M的坐标为（2，﹣10）．

设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，

①若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c与直线y=﹣x﹣8相切，

则方程x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x2﹣x+c=0有两个相等的实数根．

∴（﹣1）2﹣4×1×c=0．∴c=0.25．

②若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c经过点M，

则有22﹣2×2﹣8+c=﹣10．∴c=﹣2．

③若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c经过点E，

则有（﹣8）2﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．∴c=﹣72．

综上所述：

要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移0.25个单位长度，

向下最多平移72个单位长度．

8.解：

（1）直线y=x﹣3，令x=0，则y=﹣3，令y=0，则x=3，

故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），

则抛物线的表达式为：y=a（x﹣3）（x﹣1）=a（x2﹣4x+3），

则3a=﹣3，解得：a=﹣1，

故抛物线的表达式为：y=﹣x2+4x﹣3…①；

（2）过点B作直线y=x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y=x﹣3于点P，

直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，

则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B′B为最小值，

D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG=EG，即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2），

△BDP周长最小值=BD+B′B=；

（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，

点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0），

则CE=，FQ=CE，则PF=CE﹣CE=，

设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），

PF2=13=（m﹣2）2+（m﹣3）2，解得：m=1，故点P（1，﹣2），

将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：y=﹣x﹣…②，

联立①②并解得：x=，

故点M、N的坐标分别为：（，）、（，），

过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R，

则S四边形ABMN=S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM=．