初中数学第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形课堂检测

苏科版八年级下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》

重难点题型训练（二）

1．已知：如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB＝OD，∠BAO＝∠DCO．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）把线段AC绕O点顺时针旋转，使AC⊥BD，这时四边形ABCD是什么四边形？简要说明理由；

（3）在（2）中，当AC⊥BD后，又分别延长OA、OC到点A1，C1，使OA1＝OC1＝OD，这时四边形A1BC1D是什么四边形？简要说明理由．

2．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F．

（1）图中与线段BE相等的所有线段是　   　；

（2）选择图中与BE相等的任意一条线段，并加以证明．

3．已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．

（1）求证：四边形AEPM为菱形；

（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

4．已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．

（1）求证：BE⊥CF；

（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；

（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？

（直接写出答案）

5．如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ADE≌△CDE；

（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH＝GH；

（3）设AD＝1，DF＝x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

6．如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．

（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．

（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．

7．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

8．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．

（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？

（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．（特别提醒：表示角最好用数字）

9．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．

（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；

（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；

（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

10．将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，另一直角边的长为．

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：　   　．

（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：　   　．

（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为　   　时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是　   　；当点B的移动距离为　   　时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是　   　．（图3、图4用于探究）

11．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F．

（1）求证：∠DEF＝∠CBE；

（2）请找出图中与EB相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由．

12．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2＝PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．

答：对图（2）的探究结论为　   　；

对图（3）的探究结论为　   　；

证明：如图（2）

13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

（1）求证：AE＝BF；

（2）若BC＝cm，求正方形DEFG的边长．

14．如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的　   　心；

（2）求证：四边形DECF为菱形．

15．如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．

参考答案

1．（1）证明：∵AC与BD相交于点O，

∴∠AOB＝∠COD，（1分）

在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD，（2分）

∴OA＝OC，（3分）

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD为平行四边形（4分）

（2）解：四边形ABCD是菱形．（5分）

因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（6分）

（或对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

（3）解：四边形A1BC1D是正方形（7分）

因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（8分）

（或对角线相等的菱形是正方形）

2．解：（1）EF和FC；

∵AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，BE⊥AB，

∴BE＝EF；

又∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ECF＝45°，

∴∠CEF＝45°，

∴EF＝FC．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝90°，

又∵EF⊥AC，

∴∠AFE＝∠B，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠FAE，

在△ABE和△AFE中，

，

∴△ABE≌△AFE（AAS），

∴BE＝EF．

3．（1）证明：∵EF∥AB，PM∥AC，

∴四边形AEPM为平行四边形．

∵AB＝AC，AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵∠BAD＝∠EPA，

∴∠CAD＝∠EPA，

∴EA＝EP，

∴四边形AEPM为菱形．

（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM＝S四边形EFBM

∵四边形AEPM为菱形，

∴AD⊥EM，

∵AD⊥BC，

∴EM∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四边形EFBM为平行四边形．

作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBM．

4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD＝180°（1分）

又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线

∴∠EBC+∠FCB＝90°

∴∠BOC＝90°

故BE⊥CF（3分）

（2）解：AF＝DE

理由如下：

∵AD∥BC

∴∠AEB＝∠CBE

又∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABE＝∠CBE

∴∠AEB＝∠ABE

∴AB＝AE

同理CD＝DF（5分）

又∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD

∴AE＝DF

∴AF＝DE（6分）

（3）解：当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形．（8分）

5．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠1＝∠2＝45°，DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE．

（2）证明：∵△ADE≌△CDE，

∴∠3＝∠4，

∵CH⊥CE，

∴∠4+∠5＝90°，

又∵∠6+∠5＝90°，

∴∠4＝∠6＝∠3，

∵AD∥BG，

∴∠G＝∠3，

∴∠G＝∠6，

∴CH＝GH，

又∵∠4+∠5＝∠G+∠7＝90°，

∴∠5＝∠7，

∴CH＝FH，

∴FH＝GH．

（3）解：存在符合条件的x值此时，

∵∠ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须CE＝CG，

∴∠G＝∠8，

又∵∠G＝∠4，

∴∠8＝∠4，

∴∠9＝2∠4＝2∠3，

∴∠9+∠3＝2∠3+∠3＝90°，

∴∠3＝30°，

∴x＝DF＝1×tan30°＝．

6．解：（1）∵ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝2，AE＝CF＝1，∠BAD＝∠DCF＝90°，

在△ADE与△CDF中，

∵，

∴△ADE≌△CDF，

∴把△ADE绕点D逆时旋转90°时能与△CDF重合．

（2）由（1）可知∠1＝∠2，

∵∠2+∠3＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∵AH∥DF，

∴∠EGH＝∠EDF＝90°，

∴AH⊥ED，

∵AE＝1，AD＝2，

∵ED＝，

∴AE•AD＝ED•AG，

即×1×2＝××AG，

∴AG＝．

7．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OD（矩形的对角线互相平分），

AE∥CF（矩形的对边平行）．

∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC（矩形的对角线互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

8．解：（1）四边形BECF是菱形．

证明：∵BC的垂直平分线为EF，

∴BF＝FC，BE＝EC，

∴∠1＝∠3，

∵∠ACB＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠A＝90°，

∴∠2＝∠A，

∴EC＝AE，

又∵CF＝AE，BE＝EC

∴BE＝EC＝CF＝BF，

∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．

证明：∵四边形BECF是菱形，

∴∠EBF＝2∠3，

∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，

∴∠3＝45°，

∴∠EBF＝2∠3＝90°，

∴菱形BECF是正方形．

9．解：（1）∵正方形ABCD中，AH＝2，

∴DH＝4，

∵DG＝2，

∴HG＝2，即菱形EFGH的边长为2．

在△AHE和△DGH中，

∵∠A＝∠D＝90°，AH＝DG＝2，EH＝HG＝2，

∴△AHE≌△DGH（HL），

∴∠AHE＝∠DGH，

∵∠DGH+∠DHG＝90°，

∴∠DHG+∠AHE＝90°，

∴∠GHE＝90°，即菱形EFGH是正方形，

同理可以证明△DGH≌△CFG，

∴∠FCG＝90°，即点F在BC边上，同时可得CF＝2，

从而S△FCG＝×4×2＝4．（2分）

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG＝∠MGE，

∵HE∥GF，

∴∠HEG＝∠FGE，

∴∠AEH＝∠MGF．

在△AHE和△MFG中，

∴△AHE≌△MFG（AAS），

∴FM＝HA＝2，

即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．

因此S△FCG＝×2×（6﹣x）＝6﹣x．（6分）

（3）若S△FCG＝1，由（2）知S△FCG＝6﹣x，得x＝5，

∴在△DGH中，HG＝，

∴在△AHE中，AE＝，即点E已经不在边AB上．

∴不可能有S△FCG＝1．（9分）

另法：∵点G在边DC上，

∴菱形的边长至少为DH＝4，

当菱形的边长为4时：

∵点E在AB边上且满足AE＝2，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，

∴最大值为HE＝2．

此时，DG＝2，故0≤x≤2．

∵函数S△FCG＝6﹣x的值随着x的增大而减小，

∴当x＝2时，S△FCG取得最小值为6﹣2．

又∵6﹣2＝1，

∴△FCG的面积不可能等于1．（9分）

10．解：（1）四边形ABCD是平行四边形，根据两组对边分别相等；

（2）四边形ABC1D1是平行四边形，根据一组对边平行且相等；

（3）当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为矩形，根据有一直角的平行四边形是矩形；

当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

11．（1）证明：∵EF⊥BE，

∴∠DEF+∠CEB＝90°．

∵∠CBE+∠CEB＝90°，

∴∠DEF＝∠CBE．

（2）EB＝EF．理由如下：

∵AE平分∠DAB，

∴∠DEA＝∠EAB＝∠DAE，

DA＝DE，DA＝BC，

∴DE＝BC．

∵EF⊥BE，

∴∠DEF+∠CEB＝∠EBC+∠CEB＝90°，

∴∠DEF＝∠EBC，

∵∠C＝∠D＝90°，

∴△FDE≌△CEB（ASA）．

∴EB＝EF．

12．解：结论均是PA2+PC2＝PB2+PD2．

（1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，

∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，

根据（1）中的结论可得，

在矩形ABNM中有PA2+PN2＝PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2＝PD2+PN2，

两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PB2+PM2+PD2+PN2，

∴PA2+PC2＝PB2+PD2．

（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，

∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，

同样根据（1）中的结论可得，

在矩形BCNM中有PC2+PM2＝PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2＝PD2+PM2，

两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PD2+PM2+PB2+PN2，

∴PA2+PC2＝PB2+PD2．

13．（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴∠A＝∠B．

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°．

∴△ADE≌△BGF．

∴AE＝BF．

（2）解：∵∠DEA＝90°，∠A＝45°，

∴∠ADE＝45°．

∴AE＝DE，

同理BF＝GF，

又∵AB＝BC，

∴EF＝AE＝BF＝AB＝＝＝（cm）．

∴正方形DEFG的边长为cm．

14．解：（1）点D是△ABC的内心．（2分）

（2）证法一：连接CD，（3分）

∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形，（4分）

又∵点D是△ABC的内心，

∴CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，（5分）

又∠FDC＝∠ECD，

∴∠FCD＝∠FDC

∴FC＝FD，（6分）

∴▱DECF为菱形．（7分）

证法二：

过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．（3分）

∵AD，BD分别平分∠CAB，∠ABC，

∴DI＝DG，DG＝DH．

∴DH＝DI．（4分）

∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形，（5分）

∴S▱DECF＝CE•DH＝CF•DI，

∴CE＝CF．（6分）

∴▱DECF为菱形．（7分）

15．（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，

∴ED＝CD．

∴∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°．（1分）

∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）

又∵EF∥AB，

∴EF∥CD，（3分）

∴四边形EFCD是菱形．（4分）

（2）解：连接DF，与CE相交于点G，（5分）

由CD＝4，可知CG＝2，（6分）

∴，（7分）

∴．（8分）