数学八年级下册9.3 平行四边形课后练习题

平行四边形重难点题型分析

1、如图：沿AM折叠，使D点落在BC上，如果AD=7cm,DM=5cm，∠DAM=a，则AN=_____cm，∠NAM=____

2、如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是________

3、如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC,CD上的点，且∠EAF=∠BAD.若EF=11，BE=3，则DF=_______

4、已知，平行四边形ABCD的周长是44，对角线AC、BD相交于点O，且△OAB的周长比△OBC的周长小4，则AB的长为_______

5、已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为_________

一、以平行四边形为载体，解决线段、角的数量关系问题

解决该类问题应熟练掌握以下知识：

（1）平行四边形的性质和判定

（2）特殊平行四边形的性质和判定

（3）三角形中位线的性质

（4）三角形全等的性质和判定

（5）角平分线的性质

（6）垂直平分线的性质

解题方法：运用已知和结论中的"特殊条件"添加辅助线

例1.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC,P是BC上的任一点，PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足。求证：PE+PF=AB

变式1、如图，在矩形ABCD中，AD=AB,AE平分∠BAD,DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列结论：①∠DEA=∠DEC；②BF=FH；③OE=OD；④BC-CH=2EF，其中正确结论的个数是（）

A.1       B.2       C.3       D.4

二、平行四边形中的折叠问题

解决该类问题应熟练掌握以下知识

（1）平行四边形的性质和判定

（2）勾股定理

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（4）等边三角形的性质

（5）轴对称图形性质

解题方法：运用方程的思想解决问题

例2.如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8.以OB为边，在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长

变式2：如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD=8，且△AFD的面积为60，则△DEC的面积为________

三、在四边形中探究问题成立的条件

解决该类问题应熟练掌握以下知识

（1）特殊平行四边形的判定

（2）等腰三角形的性质和判定

（3）三角形全等的性质和判定

解题方法：在结论成立的前提下，探究条件的存在性

例3.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.

（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由

变式3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF。

（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE.

（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由

四、在四边形中的探究和操作问题

解决该类问题应熟练掌握以下知识

（1）平行四边形的性质和判定

（2）两条直线的关系：数量关系、位置关系

（3）等腰三角形的性质和判定，

（4）三角形全等的性质和判定

解题方法：充分理解和利用前一问提供的解题思路

例4、分别以平行四边形ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形△ABE，△CDG，△ADF

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF,EF。请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF,EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由

变式4、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形。如菱形就是和谐四边形

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC。求证：BD是梯形ABCD的和谐线

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A、B、C均在格点上，请在给出的两个网格图上各找一个点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形。

1.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（       ）

2.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD.下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC-AD），⑤四边形EFGH是菱形。其中正确的个数是（      ）

A.1       B.2       C.3       D.4

3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：

①当AM的值为_______时，四边形AMDN是矩形

②当AM的值为________时，四边形AMDN是菱形

4.如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F。在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH。求证：∠ABH=∠CDE

5.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE,FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数