初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形课时练习

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苏科版八年级下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》
重难点题型训练（一）

1．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且AG＝AB，垂足为G，则：
（1）△ABF与△AGF全等吗？说明理由；
（2）求∠EAF的度数；
（3）若AG＝7，△AEF的面积是21，求△CEF的面积．




2．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？



3．已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点

（1）如果动点E、F满足BE＝OF（如图），且AE⊥BF时，问点E在什么位置？并证明你的结论；
（2）如果动点E、F满足BE＝CF（如图），写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．





4．如图，正方形ABCD，点F在BC上，试在图中画出一条线段，构出另一个三角形，使得这个三角形全等于△DFC．
（1）你能在图中画出几种不同位置的线段得到这个三角形？试写出能够画出的种数共有　 　种．
（2）画出其中的1种位置的线段，并证明你构出的三角形全等于△DFC．







5．已知正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝16，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿射线BC方向运动，设点P的运动时间为t．连接PA．
（1）如图1，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边AD运动，求t为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等；
（2）如图2，在（1）的基础上，当点Q到达点D以后，立即以原速沿线段DC向点C运动，当Q到达点C时，两点同时停止运动，求t为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等．






6．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．





7．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．





8．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求∠CHA的度数．






9．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．




10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．




11．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF＝BE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？回答并证明你的结论．





13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．
求证：
（1）四边形ABCD是菱形．
（2）BF＝DE．





14．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）





15．如图：∠MON＝90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1．
（1）连续D1D，求证：∠D1DA＝90°；
（2）连接CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；
（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．




参考答案
1．解：（1）结论：△ABF≌△AGF．
理由：在Rt△ABF与Rt△AGF中，
，
∴△ABF≌△AGF（HL）
（2）∵△ABF≌△AGF
∴∠BAF＝∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；
即∠EAF＝∠EAD+∠FAG＝∠BAD＝45°，
故∠EAF＝45°．

（3）∵S△AEF＝×EF×AG，AG＝4
∴21＝×EF×AG，
∴EF＝6，
∵BF＝FG，EG＝DE，AG＝AB＝BC＝CD＝7，设FC＝x，EC＝y，则BF＝7﹣x，DE＝7﹣y，
∵BF+DE＝FG+EG＝EF＝6，
∴7﹣x+7﹣y＝6，
∴x+y＝8 ①
在Rt△EFC中，∵EF2＝EC2+FC2，
∴x2+y2＝62②
①2﹣②得到，2xy＝28，
∴S△CEF＝xy＝7．
方法二：易知S△ABF＝S△AGF，S△AED＝S△AEG，
∴S△ABF+S△ADE＝S△AEF＝21，
∴S△EFC＝S正方形ABCD﹣S五边形ABFED＝49﹣42＝7．

2．解：（1）全等．
理由：由题意：BP＝CQ＝2t
当t＝2时，BP＝CQ＝4
∵AB＝BC＝10，AE＝4
∴BE＝CP＝10﹣4＝6
∵BP＝CQ，∠B＝∠C＝90°，BE＝CP
∴△BPE≌△CQP （SAS）
（2）∵P、Q运动速度不相等
∴BP≠CQ
∵∠B＝∠C＝90°
∴当BP＝CP，CQ＝BE时，△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝BC＝5，CQ＝BE＝6
∴当t＝5÷2＝（秒）时，△BPE≌△CPQ，
此时点Q的运动速度为6÷＝（cm/s）
3．解：（1）当AE⊥BF时，点E在BO中点．证明如下：
延长AE交BF于点M，如图所示：
∵∠BME＝∠AOE，∠BEM＝∠AEO，
∴△BEM∽△AEO，
∴，
∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF，
∴△BEM∽△BFO，
∴，
∵AO＝BO，
∴EO＝OF，
∵BE＝OF，
∴BE＝EO，
故当AE⊥BF时，点E在BO中点．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝CD，∠ACB＝∠ABD＝∠ADE＝∠BAC＝45°
∵BE＝CF，
∴OE＝OF，AF＝DE，
∵BE＝CF，∠ABD＝∠ACB，AB＝BC
∴△ABE≌△BCF（SAS）
同理可得△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；
∴以点E或F为顶点的全等三角形有△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；

4．解：（1）如图，共可以构造出8个满足条件的三角形；
故答案为：8．


（2）如图1，作AE＝CF，则△DFC≌△DAE，
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，
在△DFC和△DAE中，，
∴△DFC≌△DAE（SAS）．
5．解：（1）由题意，得BP＝t，AQ＝4t，QD＝16﹣4t，
∵△ABP≌△CDQ
∴BP＝QD
∴t＝16﹣4t
解得：t＝，
∴当t＝时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等；
（2）如图2，依题意有△ADQ≌△ABP或△BCQ≌△ABP
∴DQ＝BP或CQ＝BP
∵DQ＝4t﹣16，CQ＝32﹣4t
∴4t﹣16＝t或32﹣4t＝t
解得：t＝或t＝，
∴当t＝或t＝时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等．


6．证明：
（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG
∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
8．解：（1）如图，连接AC，
∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
又∵菱形的边AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE＝AB＝×4＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC•AE＝4×2＝8；

（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°，
同理∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°，
∵AE∥CG，
∴∠CHA＝180°﹣∠EAF＝180°﹣60°＝120°．

9．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°；
（3）解：AP＝CE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PC，
∴∠DAP＝∠AEP，
∴∠DCP＝∠AEP
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE．


10．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝4，
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝＝＝2．
在Rt△ACE中，
AE＝＝2．
11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．

（2）OE＝OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF＝90°，
∠E+∠OBE＝90°，
又∵∠MBF＝∠OBE，
∴∠F＝∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
12．1）证法一：如图
∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，
∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；

证法二：如图
∵EF垂直平分BC，∴BD＝DC，EF⊥BC
∵BE＝CF，∴△BED≌△CFD，
∴DE＝DF
∴四边形BECF是菱形；

（2）解法一：
当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°
∴菱形BECF是正方形．

解法二：
当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，
∵BE＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°∴∠BEC＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
13．证明：（1）∵AD∥BC，AD＝BC（已知），
∴四边形ABCD为平行四边形．
又邻边AD＝DC，
∴四边形ABCD为菱形；（3分）

（2）证法一：如图：
记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．
由（1）证得四边形ABCD为菱形，
所以对角线AC平分∠A，
即∠BAC＝∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG＝AG，
∴△AGM≌△AGE，∴AM＝AE．（6分）
又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，
∴AM＝BM．∠MAE＝∠MBF．
又∵∠BMF＝∠AME，
∴△BMF≌△AME．
∴BF＝AE．
∴BF＝DE．（8分）
证法二：如图：连接BD
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四边形BDEF是平行四边形
∴BF＝DE（8分）


14．（1）解：△ABC≌△BAD．
证明：∵AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．

（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，
∴四边形AHBG是平行四边形．
∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD＝∠BAC．
∴GA＝GB．
∴平行四边形AHBG是菱形．

（3）解：需要添加的条件是AB＝BC．
15．（1）证明：∵∠D1AD+∠B1AD＝90°，∠OAB1+∠B1AD＝90°，
∴∠B1AO＝∠D1AD，
∵AD1＝AB1，AO＝AD，
∴△OAB1≌△DAD1，∴∠D1DA＝∠O＝90°；（D1，D，C在同一条直线上）．


（2）解：猜想∠C1CN＝45°．
证明：作C1H⊥ON于H．作C1G⊥CD1于G；
则有C1G＝CH．
∵∠C1D1C+∠AD1D＝90°，∠C1B1H+∠AB1O＝90°
∴∠C1D1C＝∠C1B1H，
∵C1D1＝B1C1，∠D1C1E＝∠C1HB1＝90°，
∴△C1GD1≌△C1B1H，
∴C1G＝C1H，
又∵CH＝C1G，
∴直角三角形CHC1是个等腰直角三角形，
∴∠C1CN＝45°．


（3）解：作图；
得∠ADD2＝90°（∠ADD2＝90°、∠C2CN＝45°均可）．