全国版2021届高考数学二轮复习专题检测四复数算法推理与证明文含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测四复数算法推理与证明文含解析，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.(2019·全国卷Ⅰ)设z＝eq \f(3－i,1＋2i)，则|z|＝( )
A.2 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D.1
解析：选C 法一：∵ z＝eq \f(3－i,1＋2i)＝eq \f(（3－i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq \f(1－7i,5)，∴ |z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,5)))\s\up12(2))＝eq \r(2).故选C.
法二：|z|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3－i,1＋2i)))＝eq \f(|3－i|,|1＋2i|)＝eq \f(\r(10),\r(5))＝eq \r(2).
2.已知复数z＝eq \f(i2 019,1－2i)，则复数z的虚部为( )
A.－eq \f(2,5) B.－eq \f(2,5)i
C.eq \f(1,5)i D.－eq \f(1,5)
解析：选D 因为z＝eq \f(i2 019,1－2i)＝eq \f(i4×504＋3,1－2i)＝－eq \f(i,1－2i)＝－eq \f(i（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq \f(2,5)－eq \f(1,5)i，所以虚部为－eq \f(1,5)，故选D.
3.给出下面四个类比结论：
①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.
②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0.
④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的.综上，类比结论正确的个数是2.
4.(2019·开封市定位考试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为( )
A.－1 B.0
C.－1或1 D.－1或0
解析：选D 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜0，,－x2＋4＝3))得x＝－1；由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,3x＋2＝3))得x＝0.故选D.
5.(2019·蓉城名校第一次联考)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则eq \f(y＋2,x＋1)的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C.1 D.eq \f(1,3)
解析：选A 因为z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi⇒x＝1，y＝1，所以eq \f(y＋2,x＋1)＝eq \f(3,2).故选A.
6.(2019·重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析：选D 假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D.
7.(2019·武昌区调研考试)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s＝( )
A.26 B.102
C.410 D.512
解析：选B s＝0，n＝1，第一次运行，s＝21－0＝2，n＝1＋2＝3；
第二次运行，s＝23－2＝6，n＝3＋2＝5；
第三次运行，s＝25－6＝26，n＝5＋2＝7；
第四次运行，s＝27－26＝102，n＝7＋2＝9＞8，终止循环.
输出s＝102，故选B.
8.(2019·长沙市统一模拟考试)在复平面内，复数eq \f(m＋i,m－i)对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，0)
C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
解析：选D 因为复数eq \f(m＋i,m－i)＝eq \f(（m＋i）2,（m－i）（m＋i）)＝eq \f(m2－1,m2＋1)＋eq \f(2m,m2＋1)i对应的点位于第一象限，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m2－1,m2＋1)＞0，,\f(2m,m2＋1)＞0，))解得m＞1，故选D.
9.(2019·山东泰安一轮复习质量检测)下图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是( )
A.9≤a＜10 B.9＜a≤10
C.10＜a≤11 D.8＜a≤9
解析：选B 输入n＝13，S＝0，
第一次循环S＝13，n＝12；
第二次循环S＝25，n＝11；
第三次循环S＝36，n＝10；
第四次循环S＝46，n＝9，
输出S＝46，此时应满足退出循环的条件，
故a的取值范围是9＜a≤10，故选B.
10.(2019·河北省九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，4，输出的M＝eq \f(15,8)，那么判断框中应填入的条件为( )
A.n＜k? B.n≥k?
C.n＜k＋1? D.n≥k＋1?
解析：选A 由于输入的a＝1，b＝2，k＝4，所以当n＝1时，M＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，此时a＝2，b＝eq \f(3,2)；当n＝2时，M＝2＋eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，此时a＝eq \f(3,2)，b＝eq \f(8,3)；当n＝3时，M＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,8)＝eq \f(15,8)，与输出的M值一致，故循环需终止.此时n＝4，而输入的k＝4，故结合选项知，判断框中应填入n＜k？.故选A.
11.(2019·唐山市摸底考试)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A.求1＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,7)＋…＋eq \f(1,21)的值
B.求1＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,7)＋…＋eq \f(1,19)的值
C.求1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,7)＋…－eq \f(1,19)的值
D.求1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,7)＋…＋eq \f(1,21)的值
解析：选C 执行程序框图，S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－eq \f(1,3)，a＝1，n＝5；S＝1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)，a＝－1，n＝7；…；S＝1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,7)＋…－eq \f(1,19)，a＝1，n＝21＞19满足条件，退出循环，输出S.故该程序框图的功能是求S＝1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,7)＋…－eq \f(1,19)的值，故选C.
12.埃及数学中有一个独特现象：除eq \f(2,3)用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如eq \f(2,5)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,15).可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的eq \f(1,2)，不够，若每人分得一个面包的eq \f(1,3)，还余eq \f(1,3)，再将这eq \f(1,3)分成5份，每人分得eq \f(1,15)，这样每人分得eq \f(1,3)＋eq \f(1,15).形如eq \f(2,n)(n＝5，7，9，11，…)的分数的分解：eq \f(2,5)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,15)，eq \f(2,7)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,28)，eq \f(2,9)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,45)，按此规律，eq \f(2,n)＝( )
A.eq \f(2,n＋1)＋eq \f(2,n（n＋1）) B.eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n（n＋1）)
C.eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n（n＋2）) D.eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,（2n＋1）（2n＋3）)
解析：选A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即eq \f(2,n)＝eq \f(1,\f(n＋1,2))＋eq \f(1,\f(n（n＋1）,2))＝eq \f(2,n＋1)＋eq \f(2,n（n＋1）).
二、填空题
13.已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＝3，,2ab＝4，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1，))
∴a2＋b2＝5，ab＝2.
答案：5 2
14.已知复数z＝x＋4i(x∈R)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|＝5，则eq \f(z,1＋i)的共轭复数为________.
解析：由题意知x＜0，且x2＋42＝52，
解得x＝－3，
∴eq \f(z,1＋i)＝eq \f(－3＋4i,1＋i)＝eq \f(（－3＋4i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(1,2)＋eq \f(7,2)i，
故其共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(7,2)i.
答案：eq \f(1,2)－eq \f(7,2)i
15.在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝eq \f(2S,C).在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.
解析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝eq \f(3V,S).理由如下：
设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，
由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，
所以V＝eq \f(1,3)S1R＋eq \f(1,3)S2R＋eq \f(1,3)S3R＋eq \f(1,3)S4R＝eq \f(1,3)SR，
所以内切球的半径R＝eq \f(3V,S).
答案：eq \f(3V,S)
16.使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第2 020位之前(不含第2 020位)，共有______个“○”.
解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有k(k＋1)个图形，因为44×45＝1 980<2 019<45×46＝2 070，所以在这2 019个图形中有45个“□”，1 974个“○”.
答案：1 974