2021高考数学二轮复习专题一第2讲：算法、复数、推理与证明

第二讲　算法、复数、推理与证明

考点一　复数的概念与运算

1．复数的乘法

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．

2．复数的除法

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．

3．复数运算中常见的结论

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；

(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；

(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.

[对点训练]

1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0  B.  C．1  D.

[解析]　∵z＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1，故选C.

[答案]　C

2．(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为(　　)

A.－i   B.＋i

C.－i   D.＋i

[解析]　由(2＋i)z＝1－i，得z＝＝＝－i，∴＝＋i，故选B.

[答案]　B

3．(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z满足zi＝3＋4i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

[解析]　由zi＝3＋4i，得z＝＝＝4－3i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.

[答案]　D

4．(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z＝，为z的共轭复数，则()2017＝(　　)

A．i  B．－i  C．－22017i  D．22017i

[解析]　由题意知z＝＝＝i，可得＝－i，则()2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i，故选B.

[答案]　B

[快速审题]　(1)看到题目的虚数单位i，想到i运算的周期性；看到z·，想到公式z·＝|z|2＝||2.

(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．

　复数问题的解题思路

以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．

考点二　程序框图

1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．

2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．

3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．

[对点训练]

1．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为(　　)

A．4  B．2  C.  D．－1

[解析]　S和n依次循环的结果如下：S＝，n＝2；S＝1－，n＝4.所以1－＝2，a＝－1，故选D.

[答案]　D

2．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i的值为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

[解析]　根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n＝12，i＝1；n＝6，i＝2；6≠5；n＝3，i＝3；3≠5；n＝10，i＝4；10≠5；n＝5，i＝5；5＝5成立，程序结束，输出i＝5，故选B.

[答案]　B

3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1   B．i＝i＋2

C．i＝i＋3   D．i＝i＋4

[解析]　S＝1－＋－＋…＋－＝－，当不满足判断框内的条件时，S＝N－T，所以N＝1＋＋＋…＋，T＝＋＋…＋，所以空白框中应填入i＝i＋2，故选B.

[答案]　B

4．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．

[解析]　由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋＋(－1)＋＋0＝－1－，n＝2015，输出S.

[答案]　－1－

[快速审题]　(1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．

(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n次循环体，根据结果判断．

(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．

　求解程序框图2类常考问题的解题技巧

(1)程序框图的运行结果问题

先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．

(2)程序框图的填充问题

最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i<n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．

考点三　推理与证明

1．归纳推理的思维过程

―→―→

2．类比推理的思维过程

―→―→

[对点训练]

1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

[解析]　由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩，故选D.

[答案]　D

2．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为(　　)

A．3  B．5  C.  D．3

[解析]　类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式为

d＝，

则所求距离d＝＝5，故选B.

[答案]　B

3．(2018·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝ ，3＝ ，4＝ ，5＝ ，…，则按照以上规律，若9 ＝ 具有“穿墙术”，则n＝(　　)

A．25  B．48  C．63  D．80

[解析]　由2 ＝ ，3 ＝ ，4 ＝ ，5 ＝ ，…，

可得若9 ＝ 具有“穿墙术”，则n＝92－1＝80，故选D.

[答案]　D

[快速审题]　看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理．

(1)破解归纳推理题的思维3步骤

①发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；

②归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；

③检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．

(2)破解类比推理题的3个关键

①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；

③会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．

1．(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)

A．－－i   B．－＋i

C．－－i   D．－＋i

[解析]　＝＝＝－＋i，故选D.

[答案]　D

2．(2018·浙江卷)复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．1＋i   B．1－i

C．－1＋i   D．－1－i

[解析]　∵＝＝1＋i，∴的共轭复数为1－i，故选B.

[答案]　B

3．(2018·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A.  B.  C.  D.

[解析]　k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×＝1－＝，k＝2,2<3；s＝＋(－1)2×＝＋＝，k＝3，此时跳出循环，∴输出，故选B.

[答案]　B

4．(2018·天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

[解析]　第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环，故选B.

[答案]　B

5．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．

[解析]　由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.

[答案]　1和3

1.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．

2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．

3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．

热点课题2　间接证明的应用

 [感悟体验]

等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

[解]　(1)由已知得所以d＝2，

故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)，n∈N*.

(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋，n∈N*.

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p<q<r，p，q，r∈N*)成等比数列，则b＝bpbr.

即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．

∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.

∵p，q，r∈N*，∴

∵2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r与p<r矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

专题跟踪训练(八)

一、选择题

1．已知z＝1＋2i，则复数的虚部是(　　)

A.  B．－  C.i  D．－i

[解析]　＝＝＝－i，该复数的虚部为－，故选B.

[答案]　B

2．若复数z＝1＋2i，则等于(　　)

A．1  B．－1  C．i  D．－i

[解析]　＝＝i，故选C.

[答案]　C

3．已知z(＋i)＝－i(i是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

[解析]　z＝＝＝＝－－，z对应的点位于复平面内的第三象限，故选C.

[答案]　C

4．(2018·大连模拟)下列推理是演绎推理的是(　　)

A．由于f(x)＝ccosx满足f(－x)＝－f(x)对任意的x∈R都成立，推断f(x)＝ccosx为奇函数

B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列{an}的前n项和的表达式

C．由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1的面积S＝πab

D．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质

[解析]　由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A是演绎推理，B是归纳推理，C和D为类比推理，故选A.

[答案]　A

5．(2018·江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　　)

A．8  B．17  C．29  D．83

[解析]　根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值．模拟程序的运行过程：输入的x＝3，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s＝8，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s＝29，k＝3，满足退出循环的条件．故输出的s的值为29，故选C.

[答案]　C

6．用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若a＋b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是(　　)

A．a，b至少有两个不小于2

B．a，b至少有一个不小于2

C．a，b都小于2

D．a，b至少有一个小于2

[解析]　根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”，故选C.

[答案]　C

7．(2018·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是(　　)

A．56  B．54  C．36  D．64

[解析]　模拟程序的运行，可得：第1次循环，c＝2，S＝4，c<20，a＝1，b＝2；第2次循环，c＝3，S＝7，c<20，a＝2，b＝3；第3次循环，c＝5，S＝12，c<20，a＝3，b＝5；第4次循环，c＝8，S＝20，c<20，a＝5，b＝8；第5次循环，c＝13，S＝33，c<20，a＝8，b＝13；第6次循环，c＝21，S＝54，c>20，退出循环，输出S的值为54，故选B.

[答案]　B

8．(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是(　　)

A.  B．－1  C．2008  D．2

[解析]　模拟程序的运行，可知S＝2，k＝0；S＝－1，k＝1；S＝，k＝2；S＝2，k＝3；…，可见S的值每3个一循环，易知k＝2008对应的S值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S值是－1，故选B.

[答案]　B

9．(2018·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是(　　)

A．i>100，n＝n＋1   B．i<34，n＝n＋3

C．i>34，n＝n＋3   D．i≥34，n＝n＋3

[解析]　算法的功能是计算1＋＋＋…＋的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34，故选C.

[答案]　C

10．(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(　　)

A．甲  B．乙  C．丙  D．丁

[解析]　由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯，故选B.

[答案]　B

11．(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为(　　)

A．i>6?  B．i>5?  C．i≥3?  D．i≥4?

[解析]　依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，故选D.

[答案]　D

12．(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(　　)

A．①②   B．①③

C．②④   D．①④

[解析]　设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π(R－)2；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.

[答案]　D

二、填空题

13．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．

[解析]　∵(1－2i)(a＋i)＝2＋a＋(1－2a)i为纯虚数，∴解得a＝－2.

[答案]　－2

14．如图是一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．

[解析]　前15行共有＝120(个)数，故所求的数为a122＝＝.

[答案]　

15．(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m＝30，n＝18，则输出的m的值为________．

[解析]　如果输入m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r＝0，m＝6，n＝0，满足输出条件，故输出的m值为6.

[答案]　6

16．“求方程x＋x＝1的解”，有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2的解集是________．

[解析]　因为x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2，所以x6＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)，所以(x2)3＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)．令f(x)＝x3＋x，所以不等式可转化为f(x2)>f(x＋2)．因为f(x)在R上单调递增，所以x2>x＋2，解得x<－1或x>2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

[答案]　(－∞，－1)∪(2，＋∞)