专题10不等式、推理与证明、算法初步、复数-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版）

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专题10  不等式、推理与证明、算法初步、复数1．（2021·全国高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（    ）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.2．（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.3．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．5．（2021·江苏高考真题）若复数满足，则的虚部等于（    ）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】C【分析】利用复数的运算性质，化简得出.【详解】若复数满足，则，所以的虚部等于.故选：C.6．（2021·浙江高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（    ）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.7．（2021·全国高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.8．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.9．（2021·全国高考真题）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.10．（2021·全国高考真题（文））已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.11．（2021·全国高考真题（文））设，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：.故选：C.12．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.13．（2021·江苏高考真题）下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是___________.【答案】2【分析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.【详解】初始值：， 当时，，进入循环；当时，，进入循环；当时，，终止循环，输出的值为.故答案为：2.14．（2021·天津高考真题）是虚数单位，复数_____________．【答案】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】.故答案为：.15．（2021·江苏高考真题）某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.【答案】甲2块，乙1块，8 m2.【分析】设需要甲种原料张，乙种原料张，则所用原料的总面积，由题意列出关于，的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】设需要甲种原料张，乙种原料张，则，所用原料的总面积．由约束条件作出可行域如图，联立，解得，，即，由，得，由图可知，当直线过时，取得最小值为．故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为 m2．16．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.【详解】（1），当且仅当时，即取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，∴当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.17．（2021·江苏高考真题）已知函数的定义域是.（1）求实数的取值范围;（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为函数的定义域是，所以恒成立，则，解得，的取值范围为.（2），即，因为，所以，即，解得，故不等式的解集为. 1．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：A.2．（2021·河南高三其他模拟（文））已知实数，满足，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式组在直角坐标系上画出可行域，令，则直线，当直线在轴上的截距最大时，最小；当直线在轴上的截距最小时，最大，从而得出的取值范围.【详解】根据题意画出可行域如图，令，则直线，经过点时，；直线与半圆相切时，切点为，此时，所以.故选：D.3．（2021·浙江高三其他模拟）若实数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数证得，从而得到，结合均值不等式得到方程组，解之即可.【详解】证明不等式，令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故证明成立；又因为≥，且仅当a=时成立又因为故与题意联立，得令t=，故有，解得时成立，综上联立：=1与a=解得a=，b=，故选：C.【点睛】构造函数证明不等式，然后结合不等式的夹逼定理以及均值不等式得到方程组，需要较强的抽象思维能力.4．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知实数满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）A． B． C． D．4【答案】A【分析】作出实数满足的约束条件表示的平面区域，再由目标函数的几何意义借助几何图形求解即得.【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影区域，它是斜向上的一个开放性区域，含边界，目标函数，即，表示斜率为-3，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0：，平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最小，z最小，由得，即点，于是得，所以目标函数的最小值为.故选：A5．（2021·赤峰二中高三其他模拟（文））中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵､横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式要纵横相间，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，依此类推.例如：7239用算筹表示就是，则6728用算筹可表示为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据算筹的定义表示数即可.【详解】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则6728用算筹可表示为故选：D.6．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（    ）A．由，求出，，，…，推断：数列的前项和B．由满足对都成立，推断：为奇函数C．由半径为的圆的面积，推断单位圆的面积D．由，，，…，推断：对一切，【答案】A【分析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.【详解】对于A，由，求出，，，…，推断：数列的前项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故A正确；B和C属于演绎推理，故不正确；对于D，属于归纳推理，但时，结论不正确，故D不正确.故选：A.7．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）A．1002 B．1001 C．1000 D．999【答案】B【分析】根据框图，结合裂项相消相消法可知跳出循环结构时的取值.【详解】由程序框图知，，所以，所以，解得，即当时，满足，此时由知，，故输出，故选：B8．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））若复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简，再求得解.【详解】由题得，所以.故选：B9．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知复数，(其中i是虚数单位，)，若为实数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简，再根据复数为实数的充要条件即可得出．【详解】解：因为，，因为为实数，解得.故选：B10．（2021·陕西高三其他模拟（文））复数的共轭复数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数除法运算法则化简复数，然后根据共轭复数概念写出共轭复数.【详解】，故故选：B11．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可化简得，再根据复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以．故选：C．12．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】首先根据复数的除法运算，可得，再根据是纯虚数，所以，由此即可求出结果.【详解】又是纯虚数，所以，所以.故选：D.13．（2021·疏勒县实验学校高二期末（文））在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由坐标形式写出复数，从而求得共轭复数.【详解】由题知，，则故选：A14．（2021·四川德阳市·高三二模（文））设是复数，若(是虚数单位)，则下列说法正确的是（    ）A．的虚部为 B． C． D．【答案】D【分析】先求得，由此判断出正确选项.【详解】依题意，，B错，所以的虚部为，A错，，C错，，D正确.故选：D15．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知复数，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的乘方法则化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，则，则，故.故选：B.16．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））若实数x，y满足约束条件，的最小值为_____．【答案】．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，当时，，所以，化为，由图可知，当直线过A时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．故答案为：．17．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知点，在不等式组表示的平面区域内，则取值范围的集合为______．【答案】【分析】由约束条件作出可行域，求出直线在可行域内的整点，则答案可求．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得：，，联立，解得，可得直线上有三个整点、、在可行域内．若点，在不等式组表示的平面区域内，则a取值范围的集合为2，．故答案为：2，．【点睛】本题考查不等式组表示的区域问题，关键是数形结合思想的运用．18．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））若则的最小值是___________.【答案】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】作出可行域如图所示：作出直线经过时，取得最小值3.故答案为：319．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））设，满足约束条件，则的最小值是___________.【答案】【分析】画出不等式表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为.故答案为：.20．（2021·四川自贡市·高三三模（文））若变量x，y满足约束条件，则该约束条件组确定的平面区域的面积为__．【答案】4【分析】作出不等式组表示的平面区域，进而可得面积.【详解】不等式组表示的平面区域如图：阴影部分是三角形，其中A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），所以，阴影部分的面积为：×4×2＝4．故答案为：4．21．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））观察以下式子：；；；按此规律归纳猜想第5个等式为__________.（不需要证明）【答案】【分析】利用归纳推理即可得出答案.【详解】依题可知第5个的等式为.故答案为：22．（2021·山西高三二模（文））某校团委为高三学生筹备十八岁成人礼策划了三种活动方案，分别记作､､，为使活动开展得更加生动有意义，现随机调查甲､乙､丙三位同学对三种活动方案的喜欢程度.甲说：“我不喜欢方案，但喜欢的活动方案比乙多.”乙说：“我不喜欢方案.”丙说：“我们三人都喜欢同一种方案.”由此可以判断乙喜欢的活动方案是___________.【答案】【分析】根据甲，乙，丙说话的内容，进行推理，判断.【详解】因为甲不喜欢方案，但喜欢的方案比乙多，所以甲喜欢，且乙只喜欢一种方案，因为乙不喜欢方案，丙说三人喜欢同一种方案，综上可知，乙喜欢的活动方案是.故答案为： ‘23．（2021·内蒙古呼和浩特市·（文）），.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题___________.【答案】(答案不唯一)【分析】分析已知条件中：,我们发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论【详解】由已知中：，归纳推理的一般性的命题为：证明如下： 左边右边.结论正确.故答案为：【点睛】归纳推理的一般步骤为：（1）通过观察个别情况发现某些共同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）；（3）（论证）.24．（2021·青海西宁市·（文））执行如图所示的程序框图，若输入的，分别是1，2048，则输出的______．【答案】6【分析】根据程序框图计算即可得到答案.【详解】第一次运算，，，，；第二次运算，，，，；第三次运算，，，，，停止运算．所以输出．故答案为：625．（2021·上海普陀区·高三其他模拟）下面是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果为___________.【答案】14【分析】根据程序框图的顺序结构及循环结构进行运算得到最后的结果.【详解】解：由程序框图知：第一次循环n=1，S=﹣1+1=0；第二次循环n=2，S=0+1+2=3；第三次循环n=3，S=3﹣1+3=5；第四次循环n=4，S=5+1+4=10；第五次循环n=5，S=10﹣1+5=14，满足条件S>13，跳出循环，输出S的值为14.故答案为：14.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．