2021高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测（六）　函数的奇偶性及周期性 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测（六）　函数的奇偶性及周期性 word版含答案，共5页。

1．(2017·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|
解析：选B A中函数y＝eq \f(1,x)不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( )
A．－3 B．－eq \f(5,4)
C.eq \f(5,4) D．3
解析：选A 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3．函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋eq \f(1,a)＋1＋(－a)＋eq \f(1,－a)＋1＝2.
∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B.
4．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(eq \r(－x)＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(eq \r(－x)＋1)＝－eq \r(－x)－1.
答案：－eq \r(－x)－1
5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈时，f(x)＝x＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝________.
解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
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1．(2016·山西考前质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )
A．f(x)＝eq \r(x) B．f(x)＝eq \f(1,x2)
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cs x
解析：选B 对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减，故选B.
2．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
解析：选A ∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)＋2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝－eq \f(1,2).
3．(2017·绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间(aA．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
解析：选B 法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.
法二：当x∈时，－x∈，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，即在区间上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.
5．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))解析：选C 由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))，又当x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))6．(2017·贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝eq \f(2＋fx,fx).若g(2)＝3，则g(－2)＝________.
解析：由题意可得g(2)＝eq \f(2＋f2,f2)＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝eq \f(2＋f－2,f－2)＝eq \f(2－1,－1)＝－1.
答案：－1
7．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．
解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，
∴f(x)>0时，x>eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)即满足f(x)>0的x的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\f(1,2))))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\f(1,2)))))
8．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．
解析：在f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x中，用－x替换x，
得f(－x)－g(－x)＝2x，
由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
因此得－f(x)－g(x)＝2x.
联立方程组解得f(x)＝eq \f(2－x－2x,2)，g(x)＝－eq \f(2－x＋2x,2)，
于是f(1)＝－eq \f(3,4)，g(0)＝－1，g(－1)＝－eq \f(5,4)，
故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \f(x,1－3x).
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)<－eq \f(x,8).
解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，
f(x)＝－f(－x)，－x>0，
又因为当x>0时，f(x)＝eq \f(x,1－3x)，
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)
＝－eq \f(－x,1－3－x)＝eq \f(x,1－3－x).
(2)f(x)<－eq \f(x,8)，当x>0时，即eq \f(x,1－3x)<－eq \f(x,8)，
所以eq \f(1,1－3x)<－eq \f(1,8)，所以eq \f(1,3x－1)>eq \f(1,8)，所以3x－1<8，
解得x<2，所以x∈(0,2)．
当x<0时，即eq \f(x,1－3－x)<－eq \f(x,8)，所以eq \f(1,1－3－x)>－eq \f(1,8)，
所以3－x>32，所以x<－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
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1．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋eq \f(4,x)，且当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．
解析：∵当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，
∴n≤f(x)min且m≥f(x)max，
∴m－n的最小值是f(x)max－f(x)min，又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x∈时，函数的最值与x∈时的最值相同，又当x>0时，f(x)＝x＋eq \f(4,x)，在上递减，在上递增，且f(1)>f(3)，
∴f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(2)＝5－4＝1.
答案：1
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
解：(1)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝
－feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，
即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.