高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测（六）　函数的奇偶性及周期性 Word版含答案

课时跟踪检测(六)　函数的奇偶性及周期性

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1．(2017·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝　　　　　　　　 B．y＝|x|－1

C．y＝lg x  D．y＝|x|

解析：选B　A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.

2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)

A．－3  B．－

C.  D．3

解析：选A　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.

3．函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)

A．－3  B．－1

C．1  D．2

解析：选B　由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.

∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B.

4．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，

∴当x<0时，－x>0，

f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，

即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.

答案：－－1

5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈时，f(x)＝x＋1，则f＝________.

解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，

则f＝f＝f＝＋1＝.

答案：

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1．(2016·山西考前质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　　)

A．f(x)＝  B．f(x)＝

C．f(x)＝2x＋2－x  D．f(x)＝－cos x

解析：选B　对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减，故选B.

2．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：选A　∵f(x)是周期为2的奇函数，

∴f＝f＝f＝－f＝－2××＝－.

3．(2017·绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间(a<b<0)上的值域为，则在区间上(　　)

A．有最大值4  B．有最小值－4

C．有最大值－3  D．有最小值－3

解析：选B　法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.

法二：当x∈时，－x∈，

由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，

∴－4≤f(x)≤3，即在区间上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.

5．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　　)

A．f<f(2)<f  B．f<f(2)<f

C．f<f<f(2)  D．f(2)<f<f

解析：选C　由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f＝f，f＝f，又当x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以f<f<f(2)，即f<f<f(2)，故选C.

6．(2017·贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________.

解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.

答案：－1

7．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．

解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，

∴f(x)>0时，x>或－<x<0.

即满足f(x)>0的x的集合为

.

答案：

8．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．

解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，

得f(－x)－g(－x)＝2x，

由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，

因此得－f(x)－g(x)＝2x.

联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，

于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，

故f(1)>g(0)>g(－1)．

答案：f(1)>g(0)>g(－1)

9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝.

(1)求当x<0时，f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x)<－.

解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，

f(x)＝－f(－x)，－x>0，

又因为当x>0时，f(x)＝，

所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)

＝－＝.

(2)f(x)<－，当x>0时，即<－，

所以<－，所以>，所以3x－1<8，

解得x<2，所以x∈(0,2)．

当x<0时，即<－，所以>－，

所以3－x>32，所以x<－2，

所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．

10．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)要使f(x)在上单调递增，

结合f(x)的图象(如图所示)知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

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1．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．

解析：∵当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，

∴n≤f(x)min且m≥f(x)max，

∴m－n的最小值是f(x)max－f(x)min，又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x∈时，函数的最值与x∈时的最值相同，又当x>0时，f(x)＝x＋，在上递减，在上递增，且f(1)>f(3)，

∴f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(2)＝5－4＝1.

答案：1

2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．

(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；

(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．

解：(1)由f＝－f，

且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝

－f＝－f(－x)＝f(x)，

所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．

(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.

(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，

且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．

故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，

即g(－x)＝g(x)恒成立，

于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．

于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.