2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ 课时达标检测（五） 函数及其表示 word版含答案

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1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：选C A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
2．若函数f(x＋1)的定义域为，则f(2x－2)的定义域为( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵f(x＋1)的定义域为，即0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2.∵f(x＋1)与f(2x－2)是同一个对应关系f，∴2x－2与x＋1的取值范围相同，即1≤2x－2≤2，也就是3≤2x≤4，解得lg23≤x≤2.∴函数f(2x－2)的定义域为．
3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B 设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,a－b＋c＝5，,c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2，,c＝0，))∴g(x)＝3x2－2x.
4．若函数f(x)＝ eq \r(2x2＋2ax－a－1)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
答案：
5．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝4，则b＝________.
解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))＝3×eq \f(5,6)－b＝eq \f(5,2)－b，若eq \f(5,2)－b<1，即b>eq \f(3,2)，则3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))－b＝eq \f(15,2)－4b＝4，解得b＝eq \f(7,8)，不符合题意，舍去；若eq \f(5,2)－b≥1，即b≤eq \f(3,2)，则2eq \f(5,2)－b＝4，解得b＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
一、选择题
1．函数f(x)＝eq \f(\r(10＋9x－x2),lgx－1)的定义域为( )
A． B．
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
解析：选D 要使函数f(x)有意义，则x须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＋9x－x2≥0，,x－1>0，,lgx－1≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－10≤0，,x>1，,x≠2，))
解得12．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－cs πx，x>0，,fx＋1＋1，x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值等于( )
A．1 B．2 C．3 D．－2
解析：选C feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝－cseq \f(4π,3)＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋1＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＋2＝－cseq \f(2π,3)＋2＝eq \f(1,2)＋2＝eq \f(5,2).故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝3.
3．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
解析：选A 令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2， ②
联立①②得f(1)＝2.
4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，xA．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
解析：选D 因为组装第a件产品用时15分钟，
所以eq \f(c,\r(a))＝15，①
所以必有4联立①②解得c＝60，a＝16.
5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
6．已知具有性质：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－eq \f(1,x)；②y＝x＋eq \f(1,x)；③y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01.))
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－eq \f(1,x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0二、填空题
7．已知函数f(x)对任意的x∈R，f(x＋1 001)＝eq \f(2,\r(fx)＋1)，已知f(15)＝1，则f(2 017)＝________.
解析：根据题意，f(2 017)＝f(1 016＋1 001)＝eq \f(2,\r(f1 016)＋1)，f(1 016)＝f(15＋1 001)＝eq \f(2,\r(f15)＋1)，而f(15)＝1，所以f(1 016)＝eq \f(2,\r(1)＋1)＝1，则f(2 017)＝eq \f(2,\r(f1 016)＋1)＝eq \f(2,\r(1)＋1)＝1.
答案：1
8．(2017· 绵阳诊断)已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－eq \f(3,2)，不合题意，舍去．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－eq \f(3,4).综上可知，a的值为－eq \f(3,4).
答案：－eq \f(3,4)
9．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋x))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))＝2成立，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))＝________.
解析：由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋x))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))＝2，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))＝2，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,8)))＝2，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))＝2，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,8)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,8)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,8)))))＝eq \f(1,2)×2＝1，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))＝2×3＋1＝7.
答案：7
10．定义函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则不等式(x＋1)f(x)>2的解集是________．
解析：①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x＋1)·f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．
答案：{x|x<－3或x>1}
三、解答题
11．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间上的解析式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－eq \f(1,2)f(0.5)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,8).
(2)当x∈时，f(x)＝x2；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝－eq \f(1,2)f(x－1)＝－eq \f(1,2)(x－1)2；当x∈＝4(x＋2)2.所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋22，x∈[－2，－1，,－2x＋12，x∈[－1，0，,x2，x∈[0，1]，,－\f(1,2)x－12，x∈1，2].))
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))
解得m＝eq \f(1,100)，n＝0，所以y＝eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)(x≥0)．
(2)令eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．