2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ 课时达标检测（六） 函数的单调性与最值 word版含答案

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1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－eq \r(x＋1)
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x D．y＝x＋eq \f(1,x)
解析：选A 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．a≤－2 D．a≥2
解析：选C 二次函数的对称轴方程为x＝－eq \f(a－1,3)，由题意知－eq \f(a－1,3)≥1，即a≤－2.
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．上的最大值是________；最小值是________．
解析：因为f(x)＝eq \f(2,x－1)在上是减函数，故当x＝－6时，f(x)取最大值－eq \f(2,7).当x＝－2时，f(x)取最小值－eq \f(2,3).
答案：－eq \f(2,7) －eq \f(2,3)
5．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x<1，,ln x，x≥1))的值域为R，那么a的取值范围是________．
解析：要使函数f(x)的值域为R，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2a>0，,ln 1≤1－2a＋3a，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(1,2)，,a≥－1，))∴－1≤a答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
一、选择题
1．给定函数①y＝xeq \f(1,2)，②y＝lgeq \f(1,2)(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：选B ①y＝xeq \f(1,2)在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且01，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
2．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：选A 依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x2－3x＋1的单调递增区间为( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
解析：选B 令u＝2x2－3x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2－eq \f(1,8).因为u＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2－eq \f(1,8)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))上单调递减，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u在R上单调递减．所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x2－3x＋1在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))上单调递增，即该函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4))).
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,lgax，x≥1))是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，1))
解析：选C 当x＝1时，lga1＝0，若f(x)为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立，
令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则必有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1<0，,g1≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1<0，,3a－1＋4a≥0，))解得eq \f(1,7)≤a＜eq \f(1,3).
此时，lgax是减函数，符合题意．
5．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝lg2x＋eq \f(1,1－x)，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B ∵函数f(x)＝lg2x＋eq \f(1,1－x)在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
6．(2017·日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq \f(a,x＋1)在区间上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
解析：选D ∵f(x)＝－x2＋2ax在上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝eq \f(a,x＋1)在上是减函数，∴a>0，∴0二、填空题
7．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a>0，,a＋3>0，,a2－a>a＋3，))解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
8．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))
函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象的草图如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)>f(2a－x)在上恒成立等价于x＋a<2a－x，即x答案：(－∞，－2)
三、解答题
11．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)任设10，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．
12．已知函数f(x)＝ax＋eq \f(1,a)(1－x)(a>0)，且f(x)在上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解：f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))x＋eq \f(1,a)，当a>1时，a－eq \f(1,a)>0，此时f(x)在上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝eq \f(1,a)；当0∴当a＝1时，g(a)取最大值1.