2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ 课时达标检测（十二） 函数与方程 word版含答案

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1．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C 因为f(1)＝6－lg21＝6>0，f(2)＝3－lg22＝2>0，f(4)＝eq \f(3,2)－lg24＝－eq \f(1,2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
2．函数f(x)＝xeq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 令f(x)＝0，得xeq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝xeq \f(1,2)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象(图略)，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.
3．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )
A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1
C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1
解析：选C 由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点．
4．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.
5．(2016·天津六校联考)已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且对应值如表：
则函数y＝f(x)在区间上的零点至少有________个．
解析：依题意知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间上的零点至少有3个．
答案：3
一、选择题
1．设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( )
A．(0,1) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
解析：选D 令f(x)＝2ln x－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f(x)在(1,2)上有零点，即a在区间(1,2)内．
2．已知a是函数f(x)＝2x－lgeq \f(1,2)x的零点，若0A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选C 在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝lgeq \f(1,2)x的图象(图略)，由图象可知，当03．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg3|x|的零点有( )
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B 因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈时，f(x)＝x，故当x∈时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－lg3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象，如图所示：显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg3|x|的图象有4个交点，故选B.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－|x|，x≤2，,x－22，x>2，))函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选A 由已知条件得g(x)＝3－f(2－x)
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－2|＋1，x≥0，,3－x2，x<0，))分别画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的草图，观察发现有2个交点．故选A.
5．(2016·山西四校联考)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≥0，,fx＋1，x<0，))若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝( )
A．14 B．12
C．10 D．8
解析：选A 由题图可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1；由题图2知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0时，x的值有3个；g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－eq \f(3,2)或f(x)＝eq \f(3,2)或f(x)＝0.由题图1知，f(x)＝eq \f(3,2)与f(x)＝－eq \f(3,2)各有2个；f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.由此可得m＋n＝14.故选A.
二、填空题
7．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1，－1解析：要求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2或x≤－1，,x2－x－1＝x))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1答案：1＋eq \r(2)，1
8．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3，x≤1，,－x2＋2x＋3，x>1，))则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．
解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．
答案：2
9．(2016·湖北优质高中联考)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x－1|＋2cs πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：题设可转化为两个函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x－1|与y＝－2cs πx在上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.
答案：10
10．已知0解析：函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点，故当0答案：(0,1)
三、解答题
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈，
①若f(x)＝0在区间上有一解，
∵f(0)＝1>0，
∴f(2)≤0.
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m≤－eq \f(3,2).而当m＝－eq \f(3,2)时，f(x)＝0在上有两解eq \f(1,2)和2，∴m<－eq \f(3,2).
②若f(x)＝0在区间上有两解，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,0<－\f(m－1,2)<2，,f2≥0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－12－4≥0，,－3∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥3或m≤－1，,－3由①②可知实数m的取值范围是(－∞，－1]．
12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝x2＋2x.
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0.))
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点，
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1故a的取值范围为(－1,1)．
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6