2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ 课时达标检测（七） 函数的奇偶性及周期性 word版含答案

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1．(2016·肇庆三模)在函数y＝xcs x，y＝ex＋x2，y＝lgeq \r(x2－2)，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B y＝xcs x是奇函数，y＝lgeq \r(x2－2)和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B.
2．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(x) B．f(x)＝ex
C．f(x)＝cs x D．f(x)＝ex－e－x
解析：选D 对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)＝ex－e－x为奇函数，故选D.
3．(2017·江南十校联考)设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
解析：选D 因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cs x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，D错误，故选D.
4．奇函数f(x)的周期为4，且x∈，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．
解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，∴当x<0时，即－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(eq \r(－x)＋1)，即x<0时，f(x)＝－(eq \r(－x)＋1)＝－eq \r(－x)－1.
答案：－eq \r(－x)－1
一、选择题
1．(2017·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))ln |x|
解析：选B A项，“是偶函数”与“在(0，＋∞)上单调递增”均不满足，故A错误；B项，均满足，B正确；C项，不满足“是偶函数”，故C错误；D项，不满足“在(0，＋∞)上单调递增”．故选B.
2．(2017·泰安模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：选A 设g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，则g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选A.
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23π,6)))＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．0 D．－eq \f(1,2)
解析：选A ∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＝0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(1,2).故选A.
4．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－eq \r(2))，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
解析：选C 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－eq \r(2))，f(－eq \r(2))＝f(eq \r(2))，可得2|a－1|＜eq \r(2)，即|a－1|＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2).
5．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D 由题意知当x＞eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.
6．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝( )
A．0 B．－4
C．－8 D．－16
解析：选B 由题可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.
二、填空题
7．(2017·揭阳模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
12．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝eq \f(1,2)f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，
解得－15∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．