2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ 课时达标检测（十） 对数与对数函数 word版含答案

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1．已知0＜a＜1，x＝lgaeq \r(2)＋lgaeq \r(3)，y＝eq \f(1,2)lga5，z＝lgaeq \r(21)－lgaeq \r(3)，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
解析：选C 依题意，得x＝lgaeq \r(6)，y＝lgaeq \r(5)，z＝lgaeq \r(7).又0＜a＜1，eq \r(5)＜eq \r(6)＜eq \r(7)，因此有lgaeq \r(5)＞lgaeq \r(6)＞lgaeq \r(7)，即y＞x＞z.
2．(2017·天津模拟)已知a＝lg25，b＝lg5(lg25)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－0.52，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．c解析：选B a＝lg25>2，b＝lg5(lg25)∈(0,1)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－0.52∈(1,2)，可得b3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3－x＋1，x≤0，))则f(f(1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,2)))的值是( )
A．5 B．3 C．－1 D.eq \f(7,2)
解析：选A 由题意可知f(1)＝lg21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,2)))＝3－lg3eq \f(1,2)＋1＝3lg32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,2)))＝2＋3＝5.
4．函数y＝lgax与y＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
解析：选A 当a＞1时，函数y＝lgax的图象为选项B、D中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝lgax的图象为选项A、C中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图象符合要求，选项C中的图象不符合要求．
5.设平行于y轴的直线分别与函数y1＝lg2x及函数y2＝lg2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝lg2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________.
解析：由题意知，n＝lg2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋eq \r(3)，n－1)在y1＝lg2x的图象上，所以n－1＝lg2(m＋eq \r(3))，即m＝2n－1－eq \r(3)，所以2n＝4eq \r(3)，所以m＝eq \r(3)，所以m·2n＝eq \r(3)×4eq \r(3)＝12.
答案：12
一、选择题
1．已知b>0，lg5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
解析：选B 由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a，故选B.
2．设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f(eq \r(ab))，q＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，r＝eq \f(1,2)(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．p＝r＜q
C．q＝r＞p D．p＝r＞q
解析：选B 因为b＞a＞0，故eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab).又f(x)＝ln x(x＞0)为增函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＞f(eq \r(ab))，即q＞p.又r＝eq \f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq \f(1,2)(ln a＋ln b)＝lneq \r(ab)＝p，即p＝r＜q.
3．(2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若lgab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D ∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式lgab＞1可化为algab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式lgab＞1可化为algab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)·(b－a)＞0.综上可知，选D.
4．已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－lgbx的图象可能是( )
解析：选B 因为lg a＋lg b＝0，所以lg ab＝0，所以ab＝1，即b＝eq \f(1,a)，故g(x)＝－lgbx＝－lgeq \f(1,a)x＝lgax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B.
5.(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝lga2x＋b－1(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0B．0C．0D．0解析：选A 由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，lgab)，由函数图象可知－16．设函数f(x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析：选A 由已知得0f(2)．
二、填空题
7．lgeq \r(2)＋lgeq \r(5)＋20＋5eq \f(1,3)2×eq \r(3,5)＝________.
解析：原式＝lgeq \r(10)＋1＋5eq \f(2,3)×5eq \f(1,3)＝eq \f(3,2)＋5＝eq \f(13,2).
答案：eq \f(13,2)
8．若正数a，b满足2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值为________．
解析：设2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(6k,2k－23k－3)＝108.
答案：108
9．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)的最小值为______．
解析：依题意得f(x)＝eq \f(1,2)lg2x·(2＋2lg2x)＝(lg2x)2＋lg2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，当且仅当lg2x＝－eq \f(1,2)，即x＝eq \f(\r(2),2)时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－eq \f(1,4).
答案：－eq \f(1,4)
10．若函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(3,2)x))(a>0，a≠1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：令M＝x2＋eq \f(3,2)x，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1.所以函数y＝lgaM为增函数，又M＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2－eq \f(9,16)，因此M的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq \f(3,2)x>0，所以x>0或x<－eq \f(3,2).所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
三、解答题
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝lgeq \f(1,2)x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lgeq \f(1,2)(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，,lg\f(1,2)－x，x<0.))
(2)因为f(4)＝lgeq \f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，
解得－eq \r(5)即不等式的解集为(－eq \r(5)，eq \r(5))．
12．已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,1－x>0，))解得－1故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)f(x)为奇函数．
证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
且f(－x)＝lga(－x＋1)－lga(1＋x)
＝－＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)>0⇔eq \f(x＋1,1－x)>1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是(0,1)．