高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测（十） 对数与对数函数 Word版含答案

课时达标检测（十）  对数与对数函数

1．已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则(　　)

A．x＞y＞z   B．z＞y＞x

C．y＞x＞z   D．z＞x＞y

解析：选C　依题意，得x＝loga，y＝loga，z＝loga.又0＜a＜1，＜＜，因此有loga＞loga＞loga，即y＞x＞z.

2．(2017·天津模拟)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝－0.52，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．b<c<a

C．c<b<a   D．b<a<c

解析：选B　a＝log25>2，b＝log5(log25)∈(0,1)，c＝－0.52∈(1,2)，可得b<c<a.故选B.

3．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是(　　)

A．5     B．3      C．－1      D.

解析：选A　由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝2＋3＝5.

4．函数y＝logax与y＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)

解析：选A　当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B、D中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A、C中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图象符合要求，选项C中的图象不符合要求．

5.设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________.

解析：由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12.

答案：12

一、选择题

1．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)

A．d＝ac   B．a＝cd

C．c＝ad   D．d＝a＋c

解析：选B　由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a，故选B.

2．设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)

A．q＝r＜p   B．p＝r＜q

C．q＝r＞p   D．p＝r＞q

解析：选B　因为b＞a＞0，故＞.又f(x)＝ln x(x＞0)为增函数，所以f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝p，即p＝r＜q.

3．(2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)

A．(a－1)(b－1)＜0   B．(a－1)(a－b)＞0

C．(b－1)(b－a)＜0   D．(b－1)(b－a)＞0

解析：选D　∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)·(b－a)＞0.综上可知，选D.

4．已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)

解析：选B　因为lg a＋lg b＝0，所以lg ab＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B.

5.(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝loga2x＋b－1(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)

A．0<a－1<b<1

B．0<b<a－1<1

C．0<b－1<a<1

D．0<a－1<b－1<1

解析：选A　由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.

6．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)

A．f(a＋1)>f(2)   B．f(a＋1)<f(2)

C．f(a＋1)＝f(2)   D．不能确定

解析：选A　由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．

二、填空题

7．lg＋lg＋20＋52×＝________.

解析：原式＝lg＋1＋5×5＝＋5＝.

答案：

8．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为________．

解析：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以＋＝＝＝108.

答案：108

9．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．

解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.

答案：－

10．若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．

解析：令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1.所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

三、解答题

11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，

解得－<x<，

即不等式的解集为(－，)．

12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．

解：(1)要使函数f(x)有意义．

则解得－1<x<1.

故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)．

(2)f(x)为奇函数．

证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，

且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)

＝－＝－f(x)，

故f(x)为奇函数．

(3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，

所以f(x)>0⇔>1，解得0<x<1.

所以使f(x)>0的x的解集是(0,1)．