高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：9.6 几何概型 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：9.6 几何概型 word版含答案，共11页。

(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
(2)了解几何概型的意义．
知识点 几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).
易误提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
[自测练习]
1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于eq \f(1,8)米的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析：如图，将细绳八等分，C，D分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于eq \f(1,8)米(C、D两点除外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于eq \f(1,8)米的概率为P＝eq \f(\f(6,8),1)＝eq \f(3,4).
答案：A
2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P(X≤1)＝eq \f(3,5)，选B.
答案：B
3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为eq \f(2,3)，则阴影区域的面积为________．
解析：设阴影区域的面积为S，则eq \f(S,2×2)＝eq \f(2,3)，∴S＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(8,3)
考点一 与长度(角度)有关的几何概型|
1．(2016·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x－1≥0的只有eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，长度为eq \f(3,2)，P＝eq \f(\f(3,2),2)＝eq \f(3,4).
答案：A
2．(2015·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个根分别为x1，x2，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))结合0≤p≤5，解得eq \f(2,3)答案：eq \f(2,3)
3.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为eq \f(60,360)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
(1)与长度有关的几何概型：
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度,试验的全部结果所构成的区域长度).
(2)与角度有关的几何概型：
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．

考点二 与体积相关的几何概型|
在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析] 由题意，在正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外．又V正方体ABCD­A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝eq \f(1,2)·eq \f(4,3)π·13＝eq \f(2,3)π，∴所求事件概率P(A)＝eq \f(8－\f(2,3)π,8)＝1－eq \f(π,12).
[答案] 1－eq \f(π,12)
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004
C．0.002 D．0.005
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝eq \f(2,400)＝0.005.
答案：D
考点三 与面积有关的几何概型|
与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：
1．与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题．
2．与线性规划交汇命题的问题．
3．与定积分交汇命题的问题．
探究一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题
1．(2015·湖北八校二联)记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为________．
解析：作圆O：x2＋y2＝4，区域Ω1就是圆O内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为eq \f(2,4π)＝eq \f(1,2π).
答案：eq \f(1,2π)
探究二 与线性规划交汇命题的问题
2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq \f(1,2)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq \f(1,2)”的概率，p3为事件“xy≤eq \f(1,2)”的概率，则( )
A．p1C．p3解析：x，y∈[0,1]，事件“x＋y≥eq \f(1,2)”表示的区域如图(1)中阴影部分S1，事件“|x－y|≤eq \f(1,2)”表示的区域如图(2)中阴影部分S2，事件“xy≤eq \f(1,2)”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积S2答案：B
探究三 与定积分交汇命题的问题
3．(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
解析：依题意知点D的坐标为(1,4) ，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影
＝4－eq \a\vs4\al(\i\in(1,2,))x2dx＝4－eq \f(1,3)x3eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(2,1)))＝4－eq \f(7,3)＝eq \f(5,3)，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝eq \f(S阴影,S)＝eq \f(\f(5,3),4)＝eq \f(5,12).
答案：eq \f(5,12)
求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

22.混淆长度型与面积型几何概型致误
【典例】 在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．
[解析] 设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．
要形成三角形，由构成三角形的条件知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y>1－x－y，,1－x－y>x－y，,1－x－y>y－x，))
所以xeq \f(1,2)，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．
因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的eq \f(1,4)，故这三条线段能构成三角形的概率为eq \f(1,4).
[答案] eq \f(1,4)
[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．
[防范措施] 解决几何概型问题的易误点：
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．
[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC中，D为斜边AB上任意一点，则AD的长小于AC的长的概率为( )
A.eq \f(1,2) B．1－eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
解析：依题意得知，所求的概率等于eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，选C.
答案：C
A组 考点能力演练
1．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(9,25)
C.eq \f(16,25) D.eq \f(2,5)
解析：PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为eq \f(25π－16π,25π)＝eq \f(9,25)，故选B.
答案：B
2．已知正三棱锥S ­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP ­ABCA.eq \f(7,8) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
解析：当点P到底面ABC的距离小于eq \f(3,2)时，
VP ­ABC由几何概型知，
所求概率为P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(7,8).
答案：A
3．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于eq \f(6,5)的概率是( )
A.eq \f(12,25) B.eq \f(16,25)
C.eq \f(17,25) D.eq \f(18,25)
解析：设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤1，,0≤y≤1，))
确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,x＋y<\f(6,5)，))确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(17,25)，所以这两个数之和小于eq \f(6,5)的概率是eq \f(17,25).
答案：C
4.如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线y＝eq \r(x) 经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )
A.eq \f(5,12) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
解析：图中阴影部分是事件A发生的区域，其面积S阴＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,4,))eq \r(x)dx＝eq \f(2,3)xeq \f(3,2)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(4,0)))＝eq \f(16,3)，S长方形＝4×2＝8，∴所求概率P＝eq \f(S阴,S长方形)＝eq \f(\f(16,3),8)＝eq \f(2,3).故选C.
答案：C
5．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于eq \f(S,4)的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(9,16)
解析：设AB、AC上分别有点D、E满足AD＝eq \f(3,4)AB且AE＝eq \f(3,4)AC，则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝eq \f(3,4)BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的eq \f(3,4)，∴DE到BC的距离等于△ABC高的eq \f(1,4).当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于eq \f(S,4)，∴所求概率为eq \f(S△ADE,S△ABC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＝eq \f(9,16)，故选D.
答案：D
6．已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12－x) cm，由4x(12－x)>128得x2－12x＋32<0,4答案：eq \f(1,3)
7．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．
解析：本题考查几何概率的计算．如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为eq \f(1,2)×5×12＝30，阴影部分的面积为eq \f(1,2)×π×22＝2π，所以其概率为eq \f(2π,30)＝eq \f(π,15).
答案：eq \f(π,15)
8．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________．
解析：如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB>90°，否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°，所以∠AMB>90°的概率P＝eq \f(\f(1,2)×π×12,22)＝eq \f(π,8).
答案：eq \f(π,8)
9．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，求使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率．
解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq \f(|a－1|,\r(2))≤ eq \r(2)，解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
10．(2016·济南调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．
则P(A)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)，即向量a∥b的概率为eq \f(1,6).
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.
基本事件空间为
Ω＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤2，,－1≤y≤1))))))，
B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤2，,－1≤y≤1，,2x＋y<0，,x≠2y))))))，
则由图可知，P(B)＝eq \f(μB,μΩ)＝eq \f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×2,3×2)＝eq \f(1,3)，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是eq \f(1,3).
B组 高考题型专练
1．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为( )

A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析：由－1≤lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))≤1得lgeq \f(1,2) 2≤lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))≤lgeq \f(1,2) eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)≤x＋eq \f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq \f(3,2)，故事件“－1≤lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为eq \f(\f(3,2),2)＝eq \f(3,4).故选A.
答案：A
2．(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,2)
解析：依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(3,2)，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝eq \f(S阴影,S矩形ABCD)＝eq \f(\f(3,2),6)＝eq \f(1,4)，故选B.
答案：B
3．(2015·高考陕西卷)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.eq \f(3,4)＋eq \f(1,2π) B.eq \f(1,2)＋eq \f(1,π) C.eq \f(1,2)－eq \f(1,π) D.eq \f(1,4)－eq \f(1,2π)
解析：复数|z|≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为eq \f(1,4)π－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,4)π－eq \f(1,2)，故满足y≥x的概率为eq \f(\f(1,4)π－\f(1,2),π×12)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2π)，故选D.
答案：D
4．(2014·高考湖北卷)由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(7,8)
解析：区域Ω1为直角△AOB及其内部，其面积S△AOB＝eq \f(1,2)×2×2＝2.区域Ω2是直线x＋y＝1和x＋y＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P＝eq \f(S四边形AODC,S△AOB)＝eq \f(2－\f(1,4),2)＝eq \f(7,8).故选D.
答案：D