高考数学一轮复习总教案：16.2　直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质

这是一份高考数学一轮复习总教案：16.2　直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质，共4页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。

典例精析
题型一 切线的判定和性质的运用
【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若eq \f(AC,AB)＝eq \f(2,5)，求eq \f(AF,DF)的值.
【解析】(1)证明：连接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，
所以OD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD，
又OD为半径，所以DE是⊙O的切线.
(2)过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，
eq \f(OH,OD)＝cs∠DOH＝cs∠CAB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(2,5)，
设OD＝5x，则AB＝10x，OH＝2x，所以AH＝7x.
由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，
又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF＝AE∶OD＝eq \f(7,5)，
所以eq \f(AF,DF)＝eq \f(7,5).
【变式训练1】已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于点F.
(1)求证：AF＝CF；
(2)若ED＝4，sin∠E＝eq \f(3,5)，求CE的长.
【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO＝eq \f(π,2)，所以∠ADF＋∠BDO＝eq \f(π,2)，又因为在⊙O中OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝eq \f(π,2).
在Rt△ABC中，∠A＋∠CBA＝eq \f(π,2)，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.
又在Rt△ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，
又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF.
所以AF＝CF.
方法二：在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，
又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD.
又由BC为⊙O的直径可知，∠ADF＋∠FDC＝eq \f(π,2)，∠A＋∠FCD＝eq \f(π,2)，
所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.
所以AF＝CF.
(2)因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝eq \f(3,5)，所以cs∠E＝eq \f(4,5)，所以FE＝5.
又FD＝3＝FC，所以CE＝2.
题型二 圆中有关定理的综合应用
【例2】如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长.
【解析】(1)连接AB，因为AC是⊙O1的切线，所以∠BAC＝∠D，
又因为∠BAC＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥EC.
(2)方法一：因为PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·(PB＋9)，所以PB＝3.
在⊙O2中，由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，所以PE＝4.
因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.
方法二：设BP＝x， PE＝y.
因为PA＝6，PC＝2，所以由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，即xy＝12.①
因为AD∥EC，所以eq \f(DP,PE)＝eq \f(AP,PC)，所以eq \f(9＋x,y)＝eq \f(6,2).②
由①②可得或 (舍去)，所以DE＝9＋x＋y＝16.
因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.
【变式训练2】如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.
(1)求PF的长度；
(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度.
【解析】(1)连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠CDE＝∠AOC.
又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，
从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，所以eq \f(PF,PC)＝eq \f(PD,PO).
由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝eq \f(12,4)＝3.
(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，
因为OF＝2－r＝1，即r＝1，
所以OB是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，
则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT＝2eq \r(2).
题型三 四点共圆问题
【例3】如图，圆O与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.
(1)求证：B、P、E、F四点共圆；
(2)若CD＝2，CB＝2eq \r(2)，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.
【解析】(1)证明：连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.
又因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，
所以B，P，E，F四点共圆.
(2)因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.
因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝2eq \r(2)，
所以由切割线定理CB2＝CD·CE，得CE＝4，DE＝2，BP＝1.
又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，所以EF∶PB＝CE∶CB，得EF＝eq \r(2).
在Rt△FEP中，PF＝eq \r(PE2＋EF2)＝eq \r(3)，
即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为eq \r(3).
【变式训练3】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.求证：
(1)O，B，D，E四点共圆；
(2)2DE2＝DM·AC＋DM·AB.
【证明】(1)连接BE，则BE⊥EC.
又D是BC的中点，所以DE＝BD.
又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，
所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四点共圆.
(2)延长DO交圆O于点H.
因为DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH＝DM·(eq \f(1,2)AC)＋DM·(eq \f(1,2)AB)，
所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.
总结提高
1.直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系.
本章在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据.
2.圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解.