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高考数学一轮复习总教案：18.3 不等式的证明(二)
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这是一份高考数学一轮复习总教案：18.3 不等式的证明(二)，共4页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。
题型一 用放缩法、反证法证明不等式
【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥eq \f(25,2).
【证明】 方法一：(放缩法)
因为a＋b＝1，
所以左边＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[eq \f((a＋2)＋(b＋2),2)]2＝eq \f(1,2)[(a＋b)＋4]2＝eq \f(25,2)＝右边.
方法二：(反证法)
假设(a＋2)2＋(b＋2)2＜eq \f(25,2)，则 a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜eq \f(25,2).
由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜eq \f(25,2).
所以(a－eq \f(1,2))2＜0，这与(a－eq \f(1,2))2≥0矛盾.
故假设不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥eq \f(25,2).
【点拨】 根据不等式左边是平方和及a＋b＝1这个特点，选用重要不等式a2 ＋ b2≥
2(eq \f(a ＋ b,2))2来证明比较好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小.
而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a＋b＝1，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.
【变式训练1】设a0，a1，a2，…，an－1，an满足a0＝an＝0，且有
a0－2a1＋a2≥0，
a1－2a2＋a3≥0，
…
an－2－2an－1＋an≥0，
求证：a1，a2，…，an－1≤0.
【证明】由题设a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0.
同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0.
假设a1，a2，…，an－1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2，…，an－1中第一个出现的正数. 即a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0，
则有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0.
并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.
这与题设an＝0矛盾.由此证得a1，a2，…，an－1≤0成立.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】用放缩法、数学归纳法证明：
设an＝eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(n(n＋1))，n∈N*，求证：eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f((n＋1)2,2).
【证明】 方法一：(放缩法)
eq \r(n2)＜eq \r(n(n＋1))＜eq \f(n＋(n＋1),2)，即n＜eq \r(n(n＋1))＜eq \f(2n＋1,2).
所以1＋2＋…＋n＜an＜eq \f(1,2)[1＋3＋…＋(2n＋1)].
所以eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f(1,2)·eq \f((n＋1)(1＋2n＋1),2)，
即eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f((n＋1)2,2).
方法二：(数学归纳法)
①当n＝1时，a1＝eq \r(2)，而1＜eq \r(2)＜2，所以原不等式成立.
②假设n＝k (k≥1)时，不等式成立，即eq \f(k(k＋1),2)＜ak＜eq \f((k＋1)2,2).
则当n＝k＋1时，ak＋1＝eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(k(k＋1))＋eq \r((k＋1)(k＋2))，
所以eq \f(k(k＋1),2)＋eq \r((k＋1)(k＋2))＜ak＋1＜eq \f((k＋1)2,2)＋eq \r((k＋1)(k＋2)).
而eq \f(k(k＋1),2)＋eq \r((k＋1)(k＋2))＞eq \f(k(k＋1),2)＋eq \r((k＋1)(k＋1))＝eq \f(k(k＋1),2)＋(k＋1)＝eq \f((k＋1)(k＋2),2)，
eq \f((k＋1)2,2)＋eq \r((k＋1)(k＋2))＜eq \f((k＋1)2,2)＋eq \f((k＋1)＋(k＋2),2)＝eq \f(k2＋4k＋4,2)＝eq \f((k＋2)2,2).
所以eq \f((k＋1)(k＋2),2)＜ak＋1＜eq \f((k＋2)2,2).
故当n＝k＋1时，不等式也成立.
综合①②知当n∈N*，都有eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f((n＋1)2,2).
【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式eq \r(n(n＋1))＜eq \f(n＋(n＋1),2)将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.
【变式训练2】已知数列eq \f(8×1,12×32)，eq \f(8×2,32×52)，…，eq \f(8n,(2n－1)2(2n＋1)2)，…，Sn为其前n项和，计算得S1＝eq \f(8,9)，S2＝eq \f(24,25)，S3＝eq \f(48,49)，S4＝eq \f(80,81)，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证明.
【解析】猜想Sn＝eq \f((2n＋1)2－1,(2n＋1)2)(n∈N＋).
证明：①当n＝1时，S1＝eq \f(32－1,32)＝eq \f(8,9)，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即Sk＝eq \f((2k＋1)2－1,(2k＋1)2).
则Sk＋1＝Sk＋eq \f(8(k＋1),(2k＋1)2(2k＋3)2)＝eq \f((2k＋1)2－1,(2k＋1)2)＋eq \f(8(k＋1),(2k＋1)2(2k＋3)2)
＝eq \f((2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋1)2,(2k＋1)2(2k＋3)2)＝eq \f([2(k＋1)＋1]2－1,[2(k＋1)＋1]2).
即当n＝k＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n∈N＋，等式都成立.
题型三 用不等式证明方法解决应用问题
【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.
(1)求an的表达式；
(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于eq \f(7,9)a，如果b＝eq \f(19,72)a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)
【解析】(1)依题意得a1＝a(1＋eq \f(1,4))－b＝eq \f(5,4)a－b，
a2＝eq \f(5,4)a1－b＝eq \f(5,4)(eq \f(5,4)a－b)－b＝(eq \f(5,4))2a－(eq \f(5,4)＋1)b，
a3＝eq \f(5,4)a2－b＝(eq \f(5,4))3a－[(eq \f(5,4))2＋(eq \f(5,4)＋1)]b，
由此猜测an＝(eq \f(5,4))na－[(eq \f(5,4))n－1＋(eq \f(5,4))n－2＋…＋eq \f(5,4)＋1]b＝(eq \f(5,4))na－4[(eq \f(5,4))n－1]b(n∈N＋).
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝eq \f(5,4)a－b，猜测成立.
②假设n＝k(k≥2)时猜测成立，即ak＝(eq \f(5,4))ka－4[(eq \f(5,4))k－1]b成立.
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝eq \f(5,4)ak－b＝eq \f(5,4)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((\f(5,4))ka－4[(\f(5,4))k－1]b))－b＝(eq \f(5,4))k＋1a－4[(eq \f(5,4))k＋1－1]b，
即当n＝k＋1时，猜测仍成立.
由①②知，对任意n∈N＋，猜测成立.
(2)当b＝eq \f(19,72)a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于eq \f(7,9)a，
所以(eq \f(5,4))na－4[(eq \f(5,4))n－1]·eq \f(19,72)a＜eq \f(7,9)a，整理得(eq \f(5,4))n＞5，
两边取对数得nlg eq \f(5,4)＞lg 5，
所以n＞eq \f(lg 5,lg 5－2lg 2)＝eq \f(1－lg 2,1－3lg 2)≈eq \f(1－0.30,1－3×0.30)＝7.
故经过8年该地区就开始水土流失.
【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)(v＞0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解析】(1)依题意，y＝eq \f(920,3＋(v＋\f(1 600,v)))≤eq \f(920,3＋2\r(1 600))＝eq \f(920,83)，当且仅当v＝eq \f(1 600,v)，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax＝eq \f(920,83)≈11.1(千辆/时).
(2)由条件得eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.
总结提高
1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.
2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.
常用的放缩方法有：
(1)添加或舍去一些项，如eq \r(a2＋1)＞eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))，eq \r(n(n＋1))＞n；
(2)将分子或分母放大(或缩小)；
(3)利用基本不等式，如eq \r(n(n＋1))＜eq \f(n＋(n＋1),2)；
(4)利用常用结论，如
eq \r(k＋1)－eq \r(k)＝eq \f(1,\r(k＋1)＋\r(k))＜eq \f(1,2\r(k))，
eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k(k－1))＝eq \f(1,k－1)－eq \f(1,k) ；
eq \f(1,k2)＞eq \f(1,k(k＋1))＝eq \f(1,k)－eq \f(1,k＋1)(程度大)；
eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k2－1)＝eq \f(1,(k－1)(k＋1))＝eq \f(1,2)(eq \f(1,k－1)－eq \f(1,k＋1)) (程度小).
3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.
题型一 用放缩法、反证法证明不等式
【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥eq \f(25,2).
【证明】 方法一：(放缩法)
因为a＋b＝1，
所以左边＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[eq \f((a＋2)＋(b＋2),2)]2＝eq \f(1,2)[(a＋b)＋4]2＝eq \f(25,2)＝右边.
方法二：(反证法)
假设(a＋2)2＋(b＋2)2＜eq \f(25,2)，则 a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜eq \f(25,2).
由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜eq \f(25,2).
所以(a－eq \f(1,2))2＜0，这与(a－eq \f(1,2))2≥0矛盾.
故假设不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥eq \f(25,2).
【点拨】 根据不等式左边是平方和及a＋b＝1这个特点，选用重要不等式a2 ＋ b2≥
2(eq \f(a ＋ b,2))2来证明比较好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小.
而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a＋b＝1，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.
【变式训练1】设a0，a1，a2，…，an－1，an满足a0＝an＝0，且有
a0－2a1＋a2≥0，
a1－2a2＋a3≥0，
…
an－2－2an－1＋an≥0，
求证：a1，a2，…，an－1≤0.
【证明】由题设a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0.
同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0.
假设a1，a2，…，an－1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2，…，an－1中第一个出现的正数. 即a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0，
则有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0.
并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.
这与题设an＝0矛盾.由此证得a1，a2，…，an－1≤0成立.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】用放缩法、数学归纳法证明：
设an＝eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(n(n＋1))，n∈N*，求证：eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f((n＋1)2,2).
【证明】 方法一：(放缩法)
eq \r(n2)＜eq \r(n(n＋1))＜eq \f(n＋(n＋1),2)，即n＜eq \r(n(n＋1))＜eq \f(2n＋1,2).
所以1＋2＋…＋n＜an＜eq \f(1,2)[1＋3＋…＋(2n＋1)].
所以eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f(1,2)·eq \f((n＋1)(1＋2n＋1),2)，
即eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f((n＋1)2,2).
方法二：(数学归纳法)
①当n＝1时，a1＝eq \r(2)，而1＜eq \r(2)＜2，所以原不等式成立.
②假设n＝k (k≥1)时，不等式成立，即eq \f(k(k＋1),2)＜ak＜eq \f((k＋1)2,2).
则当n＝k＋1时，ak＋1＝eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(k(k＋1))＋eq \r((k＋1)(k＋2))，
所以eq \f(k(k＋1),2)＋eq \r((k＋1)(k＋2))＜ak＋1＜eq \f((k＋1)2,2)＋eq \r((k＋1)(k＋2)).
而eq \f(k(k＋1),2)＋eq \r((k＋1)(k＋2))＞eq \f(k(k＋1),2)＋eq \r((k＋1)(k＋1))＝eq \f(k(k＋1),2)＋(k＋1)＝eq \f((k＋1)(k＋2),2)，
eq \f((k＋1)2,2)＋eq \r((k＋1)(k＋2))＜eq \f((k＋1)2,2)＋eq \f((k＋1)＋(k＋2),2)＝eq \f(k2＋4k＋4,2)＝eq \f((k＋2)2,2).
所以eq \f((k＋1)(k＋2),2)＜ak＋1＜eq \f((k＋2)2,2).
故当n＝k＋1时，不等式也成立.
综合①②知当n∈N*，都有eq \f(n(n＋1),2)＜an＜eq \f((n＋1)2,2).
【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式eq \r(n(n＋1))＜eq \f(n＋(n＋1),2)将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.
【变式训练2】已知数列eq \f(8×1,12×32)，eq \f(8×2,32×52)，…，eq \f(8n,(2n－1)2(2n＋1)2)，…，Sn为其前n项和，计算得S1＝eq \f(8,9)，S2＝eq \f(24,25)，S3＝eq \f(48,49)，S4＝eq \f(80,81)，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证明.
【解析】猜想Sn＝eq \f((2n＋1)2－1,(2n＋1)2)(n∈N＋).
证明：①当n＝1时，S1＝eq \f(32－1,32)＝eq \f(8,9)，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即Sk＝eq \f((2k＋1)2－1,(2k＋1)2).
则Sk＋1＝Sk＋eq \f(8(k＋1),(2k＋1)2(2k＋3)2)＝eq \f((2k＋1)2－1,(2k＋1)2)＋eq \f(8(k＋1),(2k＋1)2(2k＋3)2)
＝eq \f((2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋1)2,(2k＋1)2(2k＋3)2)＝eq \f([2(k＋1)＋1]2－1,[2(k＋1)＋1]2).
即当n＝k＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n∈N＋，等式都成立.
题型三 用不等式证明方法解决应用问题
【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.
(1)求an的表达式；
(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于eq \f(7,9)a，如果b＝eq \f(19,72)a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)
【解析】(1)依题意得a1＝a(1＋eq \f(1,4))－b＝eq \f(5,4)a－b，
a2＝eq \f(5,4)a1－b＝eq \f(5,4)(eq \f(5,4)a－b)－b＝(eq \f(5,4))2a－(eq \f(5,4)＋1)b，
a3＝eq \f(5,4)a2－b＝(eq \f(5,4))3a－[(eq \f(5,4))2＋(eq \f(5,4)＋1)]b，
由此猜测an＝(eq \f(5,4))na－[(eq \f(5,4))n－1＋(eq \f(5,4))n－2＋…＋eq \f(5,4)＋1]b＝(eq \f(5,4))na－4[(eq \f(5,4))n－1]b(n∈N＋).
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝eq \f(5,4)a－b，猜测成立.
②假设n＝k(k≥2)时猜测成立，即ak＝(eq \f(5,4))ka－4[(eq \f(5,4))k－1]b成立.
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝eq \f(5,4)ak－b＝eq \f(5,4)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((\f(5,4))ka－4[(\f(5,4))k－1]b))－b＝(eq \f(5,4))k＋1a－4[(eq \f(5,4))k＋1－1]b，
即当n＝k＋1时，猜测仍成立.
由①②知，对任意n∈N＋，猜测成立.
(2)当b＝eq \f(19,72)a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于eq \f(7,9)a，
所以(eq \f(5,4))na－4[(eq \f(5,4))n－1]·eq \f(19,72)a＜eq \f(7,9)a，整理得(eq \f(5,4))n＞5，
两边取对数得nlg eq \f(5,4)＞lg 5，
所以n＞eq \f(lg 5,lg 5－2lg 2)＝eq \f(1－lg 2,1－3lg 2)≈eq \f(1－0.30,1－3×0.30)＝7.
故经过8年该地区就开始水土流失.
【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)(v＞0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解析】(1)依题意，y＝eq \f(920,3＋(v＋\f(1 600,v)))≤eq \f(920,3＋2\r(1 600))＝eq \f(920,83)，当且仅当v＝eq \f(1 600,v)，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax＝eq \f(920,83)≈11.1(千辆/时).
(2)由条件得eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.
总结提高
1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.
2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.
常用的放缩方法有：
(1)添加或舍去一些项，如eq \r(a2＋1)＞eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))，eq \r(n(n＋1))＞n；
(2)将分子或分母放大(或缩小)；
(3)利用基本不等式，如eq \r(n(n＋1))＜eq \f(n＋(n＋1),2)；
(4)利用常用结论，如
eq \r(k＋1)－eq \r(k)＝eq \f(1,\r(k＋1)＋\r(k))＜eq \f(1,2\r(k))，
eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k(k－1))＝eq \f(1,k－1)－eq \f(1,k) ；
eq \f(1,k2)＞eq \f(1,k(k＋1))＝eq \f(1,k)－eq \f(1,k＋1)(程度大)；
eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k2－1)＝eq \f(1,(k－1)(k＋1))＝eq \f(1,2)(eq \f(1,k－1)－eq \f(1,k＋1)) (程度小).
3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.
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