高考数学一轮复习总教案：18.2　不等式的证明(一)

18.2　不等式的证明(一)

典例精析

题型一　用综合法证明不等式

【例1】 若a，b，c为不全相等的正数，求证：[来源:www.shulihua.net]

lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.

【证明】 由a，b，c为正数，得

lg ≥lg ；lg ≥lg ；lg ≥lg .

而a，b，c不全相等，

所以lg ＋lg ＋lg ＞lg ＋lg ＋lg ＝lg ＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c.

即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.

【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.

【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求证：|ac＋bd|≤1.

【证明】因为a，b，c，d都是实数，

所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋＝.

又因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.

题型二　用作差法证明不等式 [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

【例2】 设a，b，c为△ABC的三边，求证：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).

【证明】a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2－a2－b2－c2[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

　　         ＝[(a－b)2－c2]＋[(b－c)2－a2]＋[(c－a)2－b2].[来源:www.shulihua.net]

而在△ABC中，＜c，所以(a－b)2＜c2，即(a－b)2－c2＜0.

同理(a－c)2－b2＜0，(b－c)2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＜0.

故a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).

【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

【变式训练2】设a，b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求证：＋≥(a＋b)2.

【证明】因为＋－(a＋b)2＝－

＝

＝＝≥0，

所以不等式＋≥(a＋b)2成立.

题型三　用分析法证明不等式

【例3】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.

求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).

【证明】因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，

即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]

≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，

也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①

因为(a＋b)＋(b＋c)≥2＞0，

(b＋c)＋(c＋a)≥2＞0，

(c＋a)＋(a＋b)≥2＞0，

三式相乘得①式成立，故原不等式得证.

【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.

【变式训练3】设函数f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0).

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求证：当m＞n＞0时，(1＋m)n＜(1＋n)m.

【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a，

①a＝0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；

②当a＞0时，f(x)在(－1，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)单调递减.

(2)证明：要证(1＋m)n＜(1＋n)m，只需证nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需证＜.

设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝＝.

由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)单调递减，

所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是减函数，

而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.

总结提高

1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.

2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.

3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.[来源:www.shulihua.net

4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.