高考数学一轮复习总教案：9.4　直线与圆锥曲线的位置关系

9.4　直线与圆锥曲线的位置关系

典例精析

题型一　直线与圆锥曲线交点问题

【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值.

【解析】联立方程组

(1)当a＝0时，方程组恰有一组解为

(2)当a≠0时，消去x得y2－y－1＝0，

①若＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，

方程组恰有一组解

②若≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋＝0，解得a＝－，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.

综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－.

【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数＝0，即a＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a＝0时，曲线y2＝ax，即直线y＝0，此时与已知直线y＝x－1 恰有交点(1,0)；②当a＝－1时，直线y＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a＝－时直线与抛物线相切.

【变式训练1】若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(　　)

A.{1，－1，，－}      B.(－∞，－]∪[，＋∞)

C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)      D.(－∞，－1)∪[，＋∞)

【解析】由⇒(1－k2)x2－2kx－5＝0，

⇒k＝±，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.

题型二　直线与圆锥曲线的相交弦问题

【例2】(2013辽宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.

(1)求椭圆C的离心率；[来源:www.shulihua.net]

(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程.

 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.

(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.

联立

得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.[来源:www.shulihua.net]

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·.

解得离心率e＝＝.

(2)因为|AB|＝|y2－y1|，所以·＝.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

由＝得b＝a，所以a＝，即a＝3，b＝.

所以椭圆的方程为＋＝1.

【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.

【变式训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为　　　.

【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0⇒

2ax0＋2by0＝0⇒ax0－by0＝0.

故＝＝.

题型三　对称问题

 【例3】在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的取值范围.

【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k≠0.

设直线AB的方程为y＝－x＋b，

联立消去x，得y2＋y－b＝0，

由题意有Δ＝12＋4··b＞0，即＋1＞0.(*)

且y1＋y2＝－4k.又＝－·＋b.所以＝k(2k＋b).

故AB的中点为E(k(2k＋b)，－2k).

因为l过E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k.

代入(*)式，得－2＋1＞0⇔＜0

⇔k(k＋1)(k2－k＋3)＜0⇔－1＜k＜0，故k的取值范围为(－1,0).

【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程；

(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.

【变式训练3】已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于x＋y＝0对称的两点A，B，则|AB|等于(　　)

A.3     B.4     C.3    D.4

【解析】设AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，

所以xA＋xB＝－1，故AB中点为(－，－＋b).

它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝3，故选C.

总结提高

1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.[来源:www.shulihua.net]

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组

通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.[来源:数理化网]

3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.