高考数学一轮复习总教案：9.5　圆锥曲线综合问题

9.5　圆锥曲线综合问题

典例精析

题型一　求轨迹方程

【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.

(1)求证：l1⊥l2；

(2)求点M的轨迹方程.

【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋.

联立消去y整理得x2－2kx－1＝0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2＝－1，将抛物线方程改写为y＝x2，求导得y′＝x.

所以过点A的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B的切线l2的斜率是k2＝x2.

因为k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.

(2)直线l1的方程为y－y1＝k1(x－x1)，即y－＝x1(x－x1).[来源:www.shulihua.net]

同理直线l2的方程为y－＝x2(x－x2).

联立这两个方程消去y得－＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，

整理得(x1－x2)(x－)＝0，

注意到x1≠x2，所以x＝.

此时y＝＋x1(x－x1)＝＋x1(－x1)＝＝－.

由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝＝k∈R.

所以点M的轨迹方程是y＝－.

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.

【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.－＝1        B.－＝1

C.－＝1(x＞3)       D.－＝1(x＞4)

【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)，故选C.

题型二　圆锥曲线的有关最值

【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值.

【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.

由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.

因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－＜n＜.

设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝.

因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.

所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.

又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16) (－＜n＜).

所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.

【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.

【变式训练2】已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是　　　　　　.

【解析】如图，B(－1,0)，设P(xP，x－1)，Q(xQ，x－1)，

由kBP·kPQ＝－1，得·＝－1.

所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1.

因为|xP－1＋|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

题型三　求参数的取值范围及最值的综合题

【例3】(2013浙江模拟)已知m＞1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为直线l：x－my－＝0经过F2(，0)，

所以＝，解得m2＝2，

又因为m＞1，所以m＝.

故直线l的方程为x－y－1＝0.

(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去x得2y2＋my＋－1＝0，

则由Δ＝m2－8(－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，[来源:www.shulihua.net]

且有y1＋y2＝－，y1y2＝－.

由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，

由＝2， ＝2，得G(，)，H(，)，

|GH|2＝＋.

设M是GH的中点，则M(，)，

由题意可知，2|MO|＜|GH|，即4[()2＋()2]＜＋，

即x1x2＋y1y2＜0.[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

而x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝(m2＋1)(－).

所以－＜0，即m2＜4.

又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.

所以m的取值范围是(1,2).

【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

【变式训练3】若双曲线x2－ay2＝1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为　　　.

【解析】设B(m，)，则C(m，－)(m＞1)，

   又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋＝(2)2，[来源:www.shulihua.net]

所以a＝3＝3(1＋)＞3，即a的取值范围为(3，＋∞).[来源:www.shulihua.net]

总结提高

1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.

2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.

3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.