高考数学一轮复习总教案：2.2　函数的单调性

2.2　函数的单调性

典例精析

题型一　函数单调性的判断和证明

【例1】讨论函数f(x)＝ (a≠)在(－2，＋∞)上的单调性.

【解析】设x1，x2为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且x1＜x2，[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

则f(x1)－f(x2)＝－＝，

因为x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，

所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0.

所以当a＜时，1－2a＞0，f(x1)＞f(x2)，[来源:数理化网]

函数f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；

当a＞时，1－2a＜0，f(x1)＜f(x2)，

函数f(x)在(－2，＋∞)上是增函数.

【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

【变式训练1】已知函数f(x)满足f(π＋x)＝f(π－x)，且当x∈(0，π)时，f(x)＝x＋cos x，则f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是(　　)

A. f (2)＜f (3)＜f (4)       B. f (2)＜f (4)＜f (3)

C. f (4)＜f (3)＜f (2)       D. f (3)＜f (4)＜f (2)[来源:www.shulihua.net]

【解析】B.

题型二　函数单调区间的求法

【例2】试求出下列函数的单调区间.

(1)y＝|x－1|；

(2)y＝x2＋2|x－1|；

(3)y＝.

【解析】(1)y＝|x－1|＝

所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).

(2)y＝x2＋2|x－1|＝

所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).

(3)由于t＝－x2＋4x－3的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).

【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.

【变式训练2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2.则函数f (x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值是(　　)[来源:www.shulihua.net]

A.－1    B.6    C.1    D.12

【解析】B.

题型三　函数单调性的应用

【例3】已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，且对于任意的x1，x2∈[－1,1]，当x1≠x2时，都有＞0.

(1)试判断函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；

(2)解不等式f(5x－1)＜f(6x2).

【解析】(1)当x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2时，由＞0，得f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数.

(2)因为f(x)在[－1,1]上是增函数.所以由f(5x－1)＜f(6x2)知，

所以0≤x＜，所求不等式的解集为{x|0≤x＜}.

【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.

【变式训练3】已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有＞0，给出下列命题：

①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点.

其中所有正确命题的序号为　　　　　(把所有正确命题的序号都填上).

【解析】①②④.

总结提高

1.函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.

2.函数的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线.

3.导数是解决函数单调性问题的有力工具.

4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧.

5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质.