高考数学一轮复习总教案：2.4　二次函数

　2.4　二次函数

典例精析

题型一　求二次函数的解析式

【例1】已知二次函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝－2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式.

【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，由已知有

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

解得a＝，b＝2，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.[来源:www.shulihua.net]

【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为|x1－x2|＝.

【变式训练1】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(c,0)，且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式是　　　　.

【解析】由已知x＝c为它的一个根，故另一根为1.

所以1＋b＋c＝0，又－＝2⇒b＝－4，所以c＝3.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

所以f(x)＝x2－4x＋3.

题型二　二次函数的最值

【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3).

(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)＋2x＞0的解集为(1,3).

所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①

由f(x)＋6a＝0⇒ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，②

由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0⇒5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－.

因为a＜0，所以a＝－，代入①得f(x)＝－x2－x－.

(2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－)2－，

又a＜0，可得[f(x)]max＝－.

由⇒a＜－2－或－2＋＜a＜0.

【点拨】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练2】已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是　　　　.

【解析】[1,2].

题型三　二次函数在方程、不等式中的综合应用

【例3】设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，对于方程f(x)＝[ f(x1)＋f(x2)]，求证：

(1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；

(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m，若x1，m－，x2成等差数列，则－＜m2.[来源:www.shulihua.net]

【证明】(1)令g(x)＝f(x)－[ f(x1)＋f(x2)]，

则g(x1)g(x2)＝[ f(x1)－f(x2)] [ f(x2)－f(x1)]＝－ [ f(x1)－f(x2)]2＜0，

所以方程g(x)＝0在区间(x1，x2)内必有一解.

(2)依题意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1，

又f(m)＝[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c.

整理得a(2m2－x－x)＋b(2m－x1－x2)＝0，

a(2m2－x－x)＋b＝0，

所以－＝m2－＜m2.

【点拨】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点对应二次函数的函数值的正负；③相应二次函数的对称轴x＝－与区间的位置关系.

【变式训练3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数α，β，a，b大小关系为(　　)

A.α＜a＜b＜β        B.a＜α＜β＜b

C.a＜α＜b＜β        D.α＜a＜β＜b

【解析】A.

总结提高

1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.

2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点.

3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.