高考数学一轮复习总教案：2.1函数的概念及表示法

第二章　 函　数

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2.1函数的概念及表示法

典例精析

题型一　求函数的解析式

【例1】 (1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f (x)的表达式；

(2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x＋3，求f (x)的表达式.

【解析】(1)设x＋1＝t，则x＝t－1，代入得

f (x)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，所以f (x)＝x2－x＋1.

(2)由f (x)＋2f (－x)＝3x2＋5x＋3，

x换成－x，得f (－x)＋2 f (x)＝3x2－5x＋3，解得f (x)＝x2－5x＋1.

【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f (x)的解析式，常常是设g(x)＝t，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.

【变式训练1】已知f ()＝，求f (x)的解析式.

【解析】设＝t，则x＝，所以f (t)＝＝，

所以f (x)＝(x≠－1).

题型二　求函数的定义域

【例2】(1)求函数y＝的定义域；

(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域.

【解析】(1)要使函数有意义，则只需要

即

解得－3＜x＜0或2＜x＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3).

(2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，

解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4].

【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x来对待.

【变式训练2】已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.

【解析】因为y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y＝f(x)的定义域为[，2].令≤log2x≤2，所以≤x≤22＝4，故所求y＝f(log2x)的定义域为[，4].

题型三　由实际问题给出的函数

【例3】 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.

【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB＝2x，

设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝－x－x，半圆的半径为x，

所以y＝＋(－x－x)·2x＝－(2＋)x2＋lx.

由实际意义知－x－x＞0，因x＞0，解得0＜x＜.

即函数y＝－(2＋)x2＋lx的定义域是{x|0＜x＜}.

【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约.

【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是(　　)

【解析】由题意得y＝(2≤x≤10)，选A.

题型四　分段函数

【例4】 已知函数f(x)＝

(1)求f(1)＋f(－1)的值；

(2)若f(a)＝1，求a的值；

(3)若f(x)＞2，求x的取值范围.

【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.

(2)当a＜0时，f(a)＝a＋3＝1，解得a＝－2；

当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0. 所以a＝－2或a＝0.

(3)当x＜0时，f(x)＝x＋3＞2，解得－1＜x＜0；

当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x＞1.

所以x的取值范围是－1＜x＜0或x＞1.

【点拨】分段函数中，x在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.

【变式训练4】已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)

A.(1,10)        B.(5,6)

C.(10,12)        D.(20,24)

【解析】不妨设a＜b＜c，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知＜a＜1＜b＜10＜c＜12，所以－lg a＝lg b＝－c＋6，所以ab＝1，所以abc的范围为(10,12)，故选C.

总结提高

1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.

2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.

3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.

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