高考数学一轮复习总教案：5.1　任意角的三角函数的概念

这是一份高考数学一轮复习总教案：5.1　任意角的三角函数的概念，共4页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。

高考导航
知识网络

5.1 任意角的三角函数的概念
典例精析
题型一 象限角与终边相同的角
【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限.
【解析】因为α是第二象限角，
所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°(k∈Z).
因为2k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.
因为k180°＋45°＜eq \f(α,2)＜k180°＋90°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，n360°＋45°＜eq \f(α,2)＜n360°＋90°，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，n360°＋225°＜eq \f(α,2)＜n360°＋270°.
所以eq \f(α,2)是第一或第三象限角.
【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定eq \f(α,2)所在象限.
如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则eq \f(α1,2)、eq \f(α2,2)、eq \f(α3,2)、eq \f(α4,2)分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.
【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
当k是奇数时，α是第三象限角.
当k是偶数时，α是第一象限角.故选C.
题型二 弧长公式，面积公式的应用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.
【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
因为α＝60°＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，所以l＝eq \f(10π,3) cm，
S弓＝S扇－SΔ＝eq \f(1,2)×10×eq \f(10π,3)－eq \f(1,2)×102×sin 60°＝50(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2)) cm2.
(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝eq \f(C,2＋α)，
S扇＝eq \f(1,2)αR2＝eq \f(1,2)α(eq \f(C,2＋α))2＝eq \f(C2,2)eq \f(α,α2＋4α＋4)＝eq \f(C2,2)eq \f(1,α＋\f(4,α)＋4)≤eq \f(C2,16)，
当且仅当α＝eq \f(4,α)时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为eq \f(C2,16).
【点拨】用弧长公式l＝ |α| R与扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)R2|α|时，α的单位必须是弧度.
【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.
【解析】因为S＝eq \f(1,2)Rl，所以Rl＝2S，
所以周长C＝l＋2R≥2eq \r(2Rl)＝2eq \r(4S)＝4eq \r(S)，
当且仅当l＝2R时，C＝4eq \r(S)，
所以当α＝eq \f(l,R)＝2时，周长C有最小值4eq \r(S).
题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用
【例3】(1)已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤eq \f(\r(3),2)的角x的集合.
【解析】(1)由 ⇒交点为(－eq \f(\r(5),5)，－eq \f(2\r(5),5))或(eq \f(\r(5),5)，eq \f(2\r(5),5))，
所以sin α＝±eq \f(2\r(5),5).
(2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，eq \f(\r(3),2))，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.
②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.
③写集合：所求角x的集合是{x|2kπ－eq \f(4π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z}.
【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.
【变式训练3】函数y＝lg sin x＋eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为 .
【解析】
⇒2kπ＜x≤2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z.
所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z}.
总结提高
1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.
2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k·360°＋eq \f(π,3)的错误书写.
3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.
~网考试要求
重难点击
命题展望
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x， y＝cs x ， y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.
4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－,)上的单调性.
5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1 ，＝tan x.
6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.
本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.
三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.