专题9 数列通项公式和前n项和-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题9通项公式和数列求和

一、单选题

1．正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则a5＝（    ）

A．8 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】

根据，时，得到，当时，根据得到或者，再求即可.

【详解】

正项数列，，

当时，，，所以.

当时，，，

所以或者.

当时，是首项为1，公差为1的等差数列，

所以，；

当时，与是正项数列矛盾，所以舍去.

故选：B.

2．已知数列的前项和，则的通项公式为（    ）

A． B． C．  D．

【答案】B

【分析】

利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式子即可.

【详解】

，当时，，

当时，，上式也成立，

，

故选：B.

【点睛】

易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.

3．在数列中，，且，则其通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

先由得出，再由累加法计算出，进而求出.

【详解】

解：，

，

化简得：，

两边同时除以并整理得：

，

即，，，…，，

将上述个式子相加得：

……，

即，

，

又也满足上式，

，

.

故选：D.

【点睛】

易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现，要注意检验首项是否符合.

4．数列，，，，…的一个通项公式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据选项进行逐一验证，可得答案.

【详解】

选项A. ,当时，无意义.所以A不正确.

选项B. ,当时，，故B不正确.

选项C. ，，，

所以满足.故C正确.

选项D. ,当时, ,故D不正确.

故选：C

5．已知数列1，,,,…，则数列的第k项是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案

【详解】

解：由已知数列的前4项：1，,,,

归纳可知该数列的第项是一个以1为首项，以为公比的等比数列第项开始的连续项和，

所以数列的第项为：

故选：D

6．已知数列满足则数列的最大项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．

【详解】

解：由题意，可知：

．

令，则．

，

数列是以为首项，为公比的等比数列．

．

．

，

，

．

各项相乘，可得：

．

．

令，

则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．

，，

的最小值为．

．

数列的最大项为．

故选：．

【点睛】

本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；

7．已知等差数列的前项和满足：，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先根据数列的通项与的关系，得到，，，再根据选项，代入前项和公式，计算结果.

【详解】

由得，，，.

又，

，

.

故选:C.

【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.

8．已知数列的前n项和，则（    ）

A．350 B．351 C．674 D．675

【答案】A

【分析】

先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.

【详解】

当时，；

当时，.

不适合上式，

.

因此，；

故选：A.

【点睛】

易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.

9．已知在数列中，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由累乘法可求得，即可求出.

【详解】

，即，

，

.

故选：C.

10．已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】A

【分析】

转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.

【详解】

因为，所以，

又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，

所以，所以，

令，解得，

所以，其余各项均大于0，

所以.

故选：A.

【点睛】

解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足的项，即可得解.

11．若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.

【详解】

由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，

当时，；

当时，，

也满足，所以，

所以，

所以，

又对一切恒成立，

所以，整理得，解得或.

即实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】

数列与函数、不等式综合问题的求解策略：

1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；

2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

12．已知单调递增数列的前n项和满足，且，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为（    ）

A．7 B．8

C．10 D．11

【答案】B

【分析】

由数列与的关系转化条件可得，结合等差数列的性质可得，再由错位相减法可得，即可得解.

【详解】

由题意，，

当时，，

所以，

整理得，

因为数列单调递增且，所以，即，

当时，，所以，

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以，，

所以成立的n的最小值为8.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是数列与关系的应用及错位相减法的应用.

二、填空题

13．已知首项为1的数列的前n项和为Sn，且当n为偶数时，，当n为奇数且n>1时，.若，则m的最小值为___________.

【答案】18

【分析】

根据已知条件求出n为偶数和奇数时的通项公式，，再求得前项的和得解

【详解】

由题意得，，，，

∴，即.又，

∴数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

∴，，

∴奇数项的和为

偶数项的和为

∴∴，

∴使得的最小整数m的值为18.

故答案为：18

【点睛】

分奇偶项求得通项公式是解题关键.

14．设数列是以为首项，为公比的等比数列，其前项和为，则的前项和为_________.

【答案】

【分析】

先根据题意得，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案.

【详解】

解：由等比数列的前项和公式得，

由于数列是以为首项，为公比的等比数列，

设的前项和，

则.

故答案为：

【点睛】

本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出，再结合数列是以为首项，为公比的等比数列，再次求和即可.

15．已知数列满足，，则__________.

【答案】

【分析】

利用已知条件得，运用叠加法先求得，再求得.

【详解】

依题意数列满足，，

所以，

所以，， ，，

所以，

所以，所以，

故答案为：.

16．数列的前项和为，，，，则数列的前项和_____．

【答案】

【分析】

利用可得为等比数列，即可求出，进而得出，利用裂项相消法即可求出.

【详解】

，

时，，

两式作差，得，

化简得，

检验：当时，，，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；，，

令，

.

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

三、解答题

17．已知数列的前项和满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据所给的递推关系，结合、等比数列的定义进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】

（1）∵，∴时，，

∴，∴，

又∵，∴，∴是以3为首项，3为公比的等比数列，∴；

（2）由（1）知，，所以，

∴①，

∴②，

由①②得：

18．已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.

（1）求的通项公式：

（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

(1)利用已知与的关系求{}的通项公式；

(2)先根据(1)的结论求出，再求出的前n项和，利用放缩法证明不等式.

【详解】

（1）由，结合，因此

由

得，

又，得

从而是首项为2公差为3的等差数列，

故的通项公式为.

（2）由可得，

从而

∵，

于是

∴.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了已知与的关系求{}的通项公式，根据利用放缩法得，证明不等式，属于较难题.

19．已知数列的前项和为，且．

（1）求数列通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）利用即可求出；

（2）利用错位相减法即可求出.

【详解】

（1）当时，则；

当时，，满足；

；

（2）依题意，，

故，

故，

两式相减可得，

．

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

20．设是公比为正数的等比数列， ，.

（1）求的通项公式；

（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用等比数列的定义求出公比后，再根据可得结果；

（2）根据等差数列的首项和公差求出后再根据等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到结果.

【详解】

（1）由题意设等比数列的公比为q，，

，，

，即，

的通项公式.

（2）是首项为1，公差为2的等差数列，

，

数列的前n项和.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，关键是正确求得等比数列的基本量，并注意分组求和思想的应用，属于基础题.

21．已知数列的前n项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，是数列的前n项和，若对任意的，不等式都成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式；

（2）用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，再用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围．

【详解】

（1）因为数列的前n项和满足，

所以当时，，

两式相减得：，即，

又时，，解得：，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而

（2）由（1）知：

，

所以，

，

对任意的，不等式都成立，即，

化简得：，令，

因为，

故单调递减，

所以，故，

所以，实数k的取值范围是．

【点睛】

方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相法法求和，数列不等式恒成立问题．数列求和方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等，用作差法确定数列的单调性求出数列的最大（小）项是求数列最值的常用方法．

22．已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足：.

（1）求与；

（2）记，求的前项和；

（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）,    （2） （3）

【分析】

（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,由,,且满足:,.可得,,联立解出即可得出.
（2）,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
（2）不等式,即,化为:.对n分类讨论,利用数列的单调性即可得出.

【详解】

（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,
,,且满足:,，
,,联立解得,
,；
（2）,
的前n项和,
,
两式相减得

,
；
（3）不等式,即,
化为:，
当n为偶数时,，
当n为奇数时,,解得，
对一切恒成立,
，
实数m的取值范围是

【点睛】

关键点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法求和，数列不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是利用错位相减法求和，计算要准确，不等式,即,化为:，再分的奇偶性分别求解即可.属于中档题.