高中数学高考第5讲 数列通项公式与前n项和（解析版）

第5讲 数列通项公式与前n项和

高考预测一：等差等比公式法求和

1．已知等比数列满足：，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．

【解析】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则由已知可得

解得

故．

（Ⅱ）若，则，

故是首项为，公比为的等比数列，

从而．

若，则是首项为，公比为的等比数列，

从而故．

综上，对任何正整数，总有．

故不存在正整数，使得成立．

2．记为等差数列的前项和．已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的的取值范围．

【解析】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，

若，则，变形可得，即，

若，则，

则，

（2）若，则，

当时，不等式成立，

当时，有，变形可得，

又由，即，则有，即，则有，

又由，则有，

则有，

综合可得：的取值范围是，．

高考预测二：裂项相消求和

3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．

（Ⅰ）若等差数列满足，求，的通项公式；

（Ⅱ）若＝______，求数列的前项和．

在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．

【解析】解：（Ⅰ）设数列的公比为，则．

，

，①

，

，解得（舍负），

代入①得，，

；

则，，②

设数列的公差为，

，

则；

（Ⅱ）选择①：

，，

则，

．

选择②：

，，

则，

，

；

选择③：

由（Ⅰ）知；

．

．

．

4．为数列的前项和，已知，．

（1）求通项公式；

（2）设，数列的前项和，若，求整数值．

【解析】解：（1），，

，

，，

两式相减，得．

，

，

．

数列为常数列，

，所以．

（2）由（1）可得，

令，则，，

，

数列的前项和，

，，

若，且为整数，

当为奇数时，，，由，可得，

当为偶数时，，，由，可得，

．

5．记为数列的前项和．已知，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1）由题意，当时，，

整理，得，解得，或（舍去）．

当时，由，可得：

，

两式相减，可得，

整理，得，

，．

数列是首项为4，公差为3的等差数列．

数列的通项公式为，．

（2）由（1）知，．

故

．

6．已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和．

【解析】解：由题设可得：，

，

；

由（Ⅰ）可得：，

当为偶数时，，

当为奇数时，，

综上，．

7．已知数列满足，，数列满足，．

（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和．

【解析】（1）证明：，

，

又，

，

数列为首项、公比均为2的等比数列，

，

；

（2）解：由（1）可得：，即，

又，

当时，，

又当时，也适合上式，

，

，

．

高考预测三：错位相减求和

8．已知数列满足为实数，且，，，且，，成等差数列．

（Ⅰ）求的值和的通项公式；

（Ⅱ）设，，求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）数列满足为实数，且，

，，且，，成等差数列，

所以，即．所以，

由于，所以，解得．

①当时，，②当时，．

所以数列的通项公式为：．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，

所以①，则，②

①②得，整理得．

9．设等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和．

【解析】解：（1）设等差数列 的首项为，公差为，

由， 得解得，．

因此．

（2）由题意知：

所以，

       ，

两式相减得

整理得，

所以数列 的前 项和．

10．设等差数列的公差为前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）当时，记，求数列的前项和．

【解析】解：（1）由题设知：，

解得：或，

当时，，；当时，，．

（2）当时，由（1）可得，，，则，

，

又，

两式相减可得：，

整理得：．

高考预测四：分组求和

11．已知等差数列前10项的和是120，前20项的和是440．

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列的第2项和第5项分别是6和162，求数列的前项和．

【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由题设条件知：，解得：，，

；

（2）设等比数列的公比为，由题设条件知：，解得：，，，

，

所以其前项和为

．

12．已知为数列的前项和，且，，2，

（1）求证：数列为等比数列：

（2）设，求数列的前项和．

【解析】证明：当时，，

整理得，

，

，

，

，

是以1为首项，以2为公比的等比数列．

解：由得，

．

当为偶数时，

；

当为奇数时，可得．

综上，，为奇数），为偶数）．

13．设是等差数列，是等比数列．已知，，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，其中．

求数列的通项公式；

求

【解析】解：（Ⅰ）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．由，，，，

可得，，

解得，，则，；

（Ⅱ）由数列满足，其中．

；

所以，数列的通项公式为：

；

原式

．