专题14 导数的定义与运算-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题14导数的定义与运算

一、单选题

1．已知函数，，若曲线在点处的切线是曲线的所有切线中斜率最小的，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】

的所有切线的斜率即为（）的值域，由题意知当时取得最小值，由基本不等式可知，当且仅当即时取得最小值，可得

【详解】

因为，定义域为，

所以，

由导数的几何意义可知：当时取得最小值，

因为，，所以，

当且仅当即时取得最小值，

又因为时取得最小值，所以，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当时取得最小值，再利用基本不等式求取得最小值时满足即，即可求出的值.

2．已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点可作曲线的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．

【详解】

解；设切点坐标，
∵，∴
∴曲线在处的切线斜率为
又∵切线过点，

∴切线斜率为，
∴
即  ①
∵过点可作曲线的三条切线，
∴方程①有3解．
令，

则图象与x轴有3个交点，

∴的极大值与极小值异号   
，令，得或1，
∴，即（m＋3）（m＋2）＜0
解得−3＜m＜−2
故选：D．

【点睛】

方法点睛：１.准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将切线的条数转化为函数的零点个数，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．

２.当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.

3．已知函数和直线，那么“”是“直线与曲线 相切”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据直线与曲线相切，求出，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．

【详解】

设函数和直线的切点坐标为，

则，可得，

所以时，直线与曲线相切；

直线与曲线相切不能推出．

因此“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件．

故选：．

【点睛】

判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

4．已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

方法一：根据切点处导数的几何意义即可求得处的切线方程的斜率，进而写出切线方程，结合偶函数的对称性即可得处的切线方程；方法二：由偶函数结合已知区间的解析式求时解析式，应用切点处导数的几何意义求得处的切线方程的斜率，写出切线方程即可.

【详解】

法一：

当时，，则，，

所以曲线在点处的切线方程为，即，

根据对称性．可得曲线在点处的切线方程为．

法二：

当时，，所以，又是偶函数，

所以，所以，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

故选：B．

【点睛】

思路点睛：分别从偶函数条件或已知区间内对称点的切线方程入手，求的切线方程.

1、方法一：首先求已知区间内对称点的切线方程，根据偶函数对称性求目标点处的切线方程.

2、方法二：首先求目标点所在区间的函数解析式，再求目标点处的切线方程.

5．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据函数的导数几何意义求切线的斜率，结合点坐标即可写出切线方程.

【详解】

依题意得，所以，又，

所以函数的图象在点处的切线方程为.

故选：D.

【点睛】

思路点睛：求曲线或函数在某一点的切线方程的一般步骤如下.

（1）函数在处的导数

（2）曲线在点处的切线的斜率为；

（3）曲线在点处的切线方程为，若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在），切线方程为.

6．设曲线在处的切线与直线平行，则实数等于（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】

利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．

【详解】

切线与直线平行，斜率为，

又，

所以切线斜率，所以的斜率为，

即．

故选：C．

【点睛】

思路点睛：该题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，解题思路如下：

（1）对函数求导；

（2）将自变量代入求得相应点处的导数值，即曲线在该点处的切线斜率；

（3）利用直线平行斜率相等，列出等量关系求得结果.

7．若函数存在垂直于轴的切线，又，且有，则的最小值为（    ）

A．1 B．

C． D．

【答案】D

【分析】

对函数求导，由存在垂直于轴的切线，可得存在，使得成立，结合基本不等式，可得到，再结合，可求得，进而，即可求出答案.

【详解】

由题意，函数的定义域为，且，

因为函数存在垂直于轴的切线，所以存在，使得成立，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

又，所以，

则.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数的几何意义，及求代数式的最值，解题关键是根据存在垂直于轴的切线，可得存在，使得成立，进而结合基本不等式求得.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．

8．已知函数，其中为函数的导数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.

【详解】

，

所以，，

，函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，

因此，.

故选：B.

【点睛】

结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：

（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；

（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.

在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.

9．函数的导函数为，则的展开式中含项的系数为（    ）

A．20 B． C．60 D．

【答案】D

【分析】

先求出函数的导函数，然后再根据二项式定理展开式求含项的系数，即可求解．

【详解】

函数导函数为，

则的展开式的通项公式为，

令，则，此时含项为，

再令，则，此时含项为，

所以含的项为，

故含项的系数为，

故选：．

【点评】

本题考查了根据函数解析式求导函数以及利用通项求二项式展开式中的系数问题，注意通项中合并同类项，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．

10．若函数满足，则的值为（    ）．

A．1 B．2 C．0 D．

【答案】C

【分析】

求导得到，取带入计算得到答案.

【详解】

，则，

则，故.

故选：C.

【点睛】

本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11．记函数的导函数为，则函数在内的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先对函数求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间.

【详解】

，

，

，

令，

解得，

在内的递增区间为.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.

12．已知对任意实数都有，，若恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由导数的运算求出，然后用分离参数法得出时，，时，，再设，求出在时最小值，在时的最大值，从而可得的范围．

【详解】

因为，所以，即，所以（为常数），

，由，，

不等式为，时，不等式为，成立，

时，，时，，

设，则，

当或时，，当或时，，

所以在和上是减函数，在和上是增函数，

时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，

时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，

综上有．

故选：D．

【点睛】

本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用．

二、填空题

13．已知，则______.

【答案】

【分析】

求出导函数，分别将代入原函数、导函数，得到关于的方程组，求得即可得答案.

【详解】

，解得，

故答案为： .

【点睛】

本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，属于基础题,

14．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．

【答案】

【解析】

试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．

考点：导数的运算．

15．函数的图象与函数的图象有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【分析】

根据幂函数的性质作出的图象，数形结合即可求解.

【详解】

由幂函数的性质作出的图象，由图知当直线与的图象相切时，只有一个公共点，由得，

设切点则，解得，所以，切点为，

因为切点在切线上，所以，解得符合题意，

当直线过点时，此时有个交点，由图知时有一个交点，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是根据幂函数的性质作出的图象，然后作，当与曲线相切时有一个公共点，利用切点处的导函数值等于，求出的值，当直线过原点时有两个公共点，此时再向下平移有一个公共点，可得.

16．对于函数有下列命题：

①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；

②函数f(x)的最小值为；

③该函数图象与x轴有4个交点；

④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.

其中正确命题的序号是_____.

【答案】①②④

【分析】

求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.

【详解】

x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；

且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，

x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝

故f(x)有最小值，②④正确；

令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.

三、解答题

17．已知函数，．

（1）求在点处的切线方程；

（2）证明：对任意的实数，在上恒成立．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；

（2）利用导数得出在上恒成立，由不等关系得，从而将问题转化为证明，构造函数，利用导数得出其最小值，从而证明在上恒成立.

【详解】

（1）由题意，设该切的切线方程为，由

故，由，解得，故该切线的切线方程为．

（2）证明：设，则，则

故在上单调递增，，故在上单调递增

所以，所以在上恒成立

故

故只需证，即证

设

则

则在上单调递增，

故对任意的，在上恒成立

【点睛】

结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数

（1）若，总有成立，故

（2）若，总有成立，故

18．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求导， 再求得，利用点斜式写出切线方程.

（2）设切点为，切线方程为，根据过点可作曲线的三条切线，则有三个不同实数根求解.

【详解】

（1），

∴切线斜率，

∴曲线在处的切线方程为，

∴即；

（2）过点向曲线作切线，设切点为，

则，

∴切线方程，

即，

∴有三个不同实数根，

记，令或1，

则的变化情况如下表

当有极大值；有极小值.

因为过点可作曲线的三条切线，

则，

即，

解得，

所以的范围是.

【点睛】

方法点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．

19．已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；.

（2）当时，讨论零点的个数.

【答案】（1）；（2）当时，有1个零点.

【分析】

（1）先求出的导数，再利用切线公式写出切线方程即可

（2）先讨论时，零点的个数；

再讨论当时，因为，

得到和，进而通过对和进行比较，进而讨论此时的零点个数

【详解】

由，得.

（1）时，可得，，

则切线方程为，即.

（2）（ⅰ）当时，，

可知，，又为的增函数，且，

所以仅有一个零点.

（ⅱ）当时，由得或，

①若，即，则

当时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增.

而，，

此时，仅有一个零点

②若，即，则，为上的增函数，

因为，，此时仅有一个零点.

③若，即，则

当时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增.

因，则，，

结合知仅有1个零点，

综上，当时，有1个零点.

【点睛】

关键点睛：对进行讨论时，要先讨论时，零点的个数；

再讨论当时，的导数为时，两根的大小情况来求解，属于中档题

20．已知函数，，其中.

（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与的图象的切线，，求，的斜率之积；

（2）若在区间上恒成立，求的最小值.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】

（1）利用导数的运算法则和公式求得，，得到切线，的斜率∴，，根据两切线都经过原点，求得，进而求得两直线的斜率之积;

（2）问中是典型的无法分离参数的情况，进行转化并构造函数，，转化为，分类讨论，并注意利用导数进一步研究函数的单调性，当转化为，进而再次造函数令，利用导数研究单调性并求得其最大值，即得的最小值.

【详解】

解：（1）当时，，

设过原点O的直线分别切，于点，

，，

∴，

且

∴．

（2）由在上恒成立得

∵，∴

令，∴

①当时，左边右边显然成立

②当注意到

∴在上

∴

令，，令

得时，，↗；

当时，，↘

∴，∴．

【点睛】

本题考查求曲线上某点处的切线的斜率问题和利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题，难度一般.关键是要熟练掌握导数的运算法则和求导公式，这是一切导数问题的基础，第（2）问中将不等式整理为为令，转化为，是难点也是解决问题的关键点，多次构造函数，并利用函数思想进行转化和求解是本题的显著特点，值得好好体会.

21．（1）①已知，求.

②已知求.

（2）求过点的曲线的切线方程.

【答案】（1）①；②；（2）或.

【分析】

（1）①先求出导数，然后代值计算即可.

②先求出导数，然后代值计算即可；

（2）设为切点，切线的斜率为，切线方程可表示为

，再将已知点代入切线方程中求出切点坐标，最后写出切线方程即可.

【详解】

（1）①，.

②，；

（2）设为切点，则切线的斜率为，

故切线方程为，即，

又知切线过点，代入上式得，

即，解得或，

故所求的切线方程为：或，

即或.

【点睛】

方法点睛：求曲线经过某点的切线方程的方法：

（1）设出切点坐标；

（2）列关于与的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；

（3）写出问题的结论.

22．已知函数．

（1）求；

（2）求曲线过点的切线的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】

（1）利用函数的求导法则可求得；

（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.

【详解】

（1），则；

（2）设切点为，

，所以，切线的斜率为，

所求切线方程为．

将，代入切线方程，得．

整理得，解得或.

当时，， 切线方程为，化简得；

当时，，切线方程为，化简得．

综上所述，曲线过点的切线的方程为或．

【点睛】

本题考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.