专题23 圆锥曲线定点定值问题-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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直线过定点问题
方法：要证明直线y=kx+m过定点，只需要找到k与m之间的关系即可.
确定定点P(m,n)，可以证明AP,BP,AB任意两个斜率相等即可
典例精讲
1．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）证明直线过定点
2．已知O（0，0）和K（0，2）是平面直角坐标系中两个定点，过动点M（x，y）的直线MO和MK的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=−12
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A，B两点，求证：直线AB过定点．
3．如图：椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的顶点为为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为为F1，F2，|A1B1|=3，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2
（1）求椭圆C的方程；▱
（2）过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试探究在x轴上是否存在定点Q，使得QA→⋅QB→为定值？若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由？
考点二 定值问题
定值问题
基本思路：转化为与A,B两点相关的斜率⇔k1与k2⇔x1+x2,x1x2的关系式
典例精讲
1．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为42．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆C的右顶点，过点N（6，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．
2．椭圆x2m+2+y2m=1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，过点B作直线l交直线x＝﹣2于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求该椭圆的离心率的取值范围；
（2）若该椭圆的长轴长为4，证明：OM→•OP→为定值（O为坐标原点）．
3．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，点到直线的距离为，的面积为1．
（1）求榷圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，若直线直线，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
综合练习
一．解答题（共5小题）
1．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，离心率e=12．左焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求该椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点的任意一条直线l与椭圆交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P使得x轴平分∠APB，若存在，求出定点坐标，若不存在，说明理由．
2．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知P（2，1），过（﹣2，0）的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2为定值，并求出定值．
4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点M（2，y0）在该抛物线上，且|MF|＝2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l：y＝kx+2与y轴交于点E，与抛物线C相交于A，B两点，自点A，B分别向直线y＝﹣2作垂线，垂足分别为A1，B1，记△EAA1，△EA1B1，△EBB1的面积分别为S1，S2，S3．试证明：S1S3S22为定值．
5．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点、不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．