专题18 平行关系与垂直关系-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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典例精讲
1．如图，在正方体ABCD﹣A1BlC1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（ ）
A．CEB．CFC．CGD．CC1
【分析】连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，由A1F=∥12AC，又OC=12AC，可证四边形A1OCF为平行四边形，可得A1O∥CF，利用线面平行的判定定理即可得解．
【解答】解：如图，连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，
在正方体ABCD﹣A1BlC1D1中，由于A1F=∥12AC，
又OC=12AC，
可得：A1F=∥OC，即四边形A1OCF为平行四边形，
可得：A1O∥CF，
又A1O⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，
可得CF∥平面ABD．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．
2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．AD1∥平面EFGHB．BD1∥GH
C．BD∥EFD．平面EFGH∥平面A1BCD1
【分析】在A中，AD1与GH相交，从而AD1不平行于平面EFGH；在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH，从而BD1不可能平行于GH；在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF，从而BD与EF不可能平行；在D中，EF∥A1B，FG∥BC，从而平面EFGH∥平面A1BCD1．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
F，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点
在A中，AD1与GH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；
在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH，故BD1不可能平行于GH，故B错误；
在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF，故BD与EF不可能平行，故C错误；
在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC＝B，EF∩FG＝F，
∴平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝1，DD1＝2，分别在对角线A1D，CD1上取点M，N，使得直线MN∥平面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（ ）
A．12B．23C．22D．2
【分析】作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，则M1N1∥AC．设DM1＝DN1＝x，则MM1＝x，NN1＝1﹣x，由此能求出MN的最小值．
【解答】解：作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，
∵线段MN平行于对角面ACC1A1，∴M1N1∥AC．
设DM1＝DN1＝x，则MM1＝2x，NN1＝2﹣2x，
在直角梯形MNN1M1中，
MN2=（2x）2+（2﹣4x）2＝18（x−49）2+49，
∴当x=49时，MN的最小值为23．
故选：B．
【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．
4．已知正方体中，，分别为，的中点，点，分别在线段，上，且，则在，，这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为
A．0B．1C．2D．3
【分析】由题意作出图形，取的中点，由，利用线面平行的判定定理可知平面，又，均不与平面平行，即可得解．
【解答】解：作出图形如下所示，取的中点，可知，
又平面，平面，
故平面，
又，均不与平面平行，
故在，，这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为1．
故选：．
【点评】本题主要考查了空间线面的位置关系，考查了直观想象、逻辑推理的核心素养，属于中档题．
5．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面BCC1B1平行的直线有 12 条；
【分析】在平面BCC1B1的一侧，AB、A1B1、C1D1、CD的中点分别为E、F、G、H，根据面面平行的性质能求出结果．
【解答】解：设AB、A1B1、C1D1、CD的中点分别为E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE、EG、FH，
∵平面EFGH∥平面BCC1B1，EF、FG、GH、HE、EG、FH都是平面EFGH内的直线
∴EF、FG、GH、HE、EG、FH都与平面BCC1B1平行，共6条直线，
面ADD1A1上还有6个，四条边中点分别为M，N，O，P，
即还有MN，NO，OP，MP，NP，OM．
因此，满足条件：“与平面BCC1B1平行的直线平行”的直线一共有12条．
故答案为：12．
【点评】本题考查与平面平选择直线的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
6．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H．且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为 452 ．
【分析】根据条件只要证明四边形DEFH是矩形即可得到结论．
【解答】解：∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，
∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB．EF∥SB，
则四边形DEFH是平行四边形，且HD=12SB=152，DE=12AC＝3，
取AC的中点O，连结OB，
∵SA＝SC＝15，AB＝BC＝6，
∴AC⊥SO，AC⊥OB，
∵S0∩OB＝O，
∴AO⊥平面SOB，
∴AO⊥SB，
则HD⊥DE，
即四边形DEFH是矩形，
∴四边形DEFH的面积S=152×3=452．
故答案为：452．
【点评】本题主要考查线面平行的判断和应用，根据条件先判断四边形DEFH是平行四边形，然后根据线面垂直的判定定理证明四边形DEFH是矩形是解决本题的关键．
7．已正知方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ∥平面AB1D，则线段PQ长为 2 ．
【分析】连接AD1，AB1，利用中位线的性质求得PQ=12AB1，进而求得PQ．
【解答】解：∵正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，
点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，
连结AD1，AB1，
∴由正方体的性质，得：
AD1∩A1D＝P，P是AD1的中点，
PQ∥AB1，
∴PQ=12AB1=124+4=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．
考点二 垂直关系
典例精讲
1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．
【解答】解：对于A，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故正确；
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故错误；
对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故错误；
对于D，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故错误．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题．
2．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°以下能使A1C⊥BC1的是（ ）
A．AB＝ACB．AA1＝ACC．BB1＝ABD．CC1＝BC
【分析】利用线面垂直的性质可得AB⊥A1C，若AA1＝AC，可得A1C⊥AC1，利用线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，根据线面垂直的性质可证A1C⊥BC1，即可得解．
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
又AA1＝AB，AA1∩AC＝A，
所以AB⊥平面AA1C，
又A1C⊂平面AA1C，
所以AB⊥A1C，
若AA1＝AC，则长方形AA1CC1为正方形，可得：A1C⊥AC1，
又AB∩AC1＝A，
所以A1C⊥平面ABC1，
又BC1⊂平面ABC1，
所以A1C⊥BC1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线面垂直的性质，线面垂直的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
3．已知空间四边形ABCD，∠BAC=2π3，AB＝AC＝23，BD＝CD＝6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．60πB．36πC．24πD．12π
【分析】最好借助长方体作出两面垂直的情况，计算得出△BCD为正三角形，从而找到球心所在直线，利用半径相等列方程求解．
【解答】解：
借助长方体作出空间四边形ABCD，取BC中点P，
在等腰△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC=2π3，
可求得BC＝6，AP=3，
又BD＝CD＝6，
∴△BCD为正三角形，
外接球球心O在过其中心M垂直于平面BCD的直线上，
如图：在△BCD中，求得PD＝33，
∴PM=3，BM＝23，
设OM＝x，
则ON=3+x，
在△OAN中，OA2＝AN2+ON2＝3+（x+3）2，
在△OBM中，OB2＝BM2+OM2＝12+x2，
由OA＝OB列方程解得x=3，
从而OB2＝15即外接球半径r=15，
∴外接球面积＝4π×15＝60π，
故选：A．
【点评】本题考查了面面垂直的性质，外接球球心的确定及半径的求法，并综合考查了运算求解能力和方程思想，是中档题．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，AP=3，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长度为（ ）
A．3B．322C．2D．32
【分析】设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y，推导出PA⊥MD，AM⊥MD，从而MD⊥平面PAM，由题意知AM=x2+1，MD=y2+1，由AM2+MD2＝AD2，得xy＝1，由PM=x2+4，MD=y2+1=1x2+1，得S△PMD=12x2+4x2+5≥32，由此能求出BC．
【解答】解：设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y，
∵PA⊥平面ABCD，MD⊂平面ABCD，∴PA⊥MD，
又AM⊥MD，PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PAM，
由题意知AM=x2+1，MD=y2+1，
在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，
即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化简，得xy＝1，
在Rt△PMD中，PM=x2+4，MD=y2+1=1x2+1，
∴S△PMD=12x2+4x2+5≥32，当且仅当x2=4x2时，取等号，
此时，BC＝x+y=322．
故选：B．
【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
5．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD：BC：AB＝2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；
②BD⊥FC；
③平面DBF⊥平面BFC；
④平面DCF⊥平面BFC．
则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】画出图形，利用直线与直线的位置关系以及射影，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判断定理，判断结论的正误即可．
【解答】解：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，
所以BC与DF不垂直，则①错误；
设点D在平面BCF上的射影为点P，
当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB＝2：3：4，
可使条件满足，所以②正确；
当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；
因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．
故选：B．
【点评】本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
6．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则△面积的最大值为
A．B．C．D．
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得的轨迹，求出到棱 的最大值，代入三角形面积公式求解．
【解答】解：如图，
由正方体性质知，当位于点时，，
当位于 的中点 时，由已知得，，，
，，
求得，，．
，得．
又，平面 ，得到的轨迹在线段上．
由，可知 为锐角，而，
知到棱 的最大值为．
则△面积的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7．在长方体中，，为棱的中点，则
A．B．C．D．
【分析】连结，，则，，从而，进而，平面，由此得到．
【解答】解：连结，，
因为，所以，
所以，所以，
所以，即，
所以平面，
所以．
故选：．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（ ）
A．m∥D1QB．m∥平面B1D1Q
C．m⊥B1QD．m⊥平面A BB1 A1
【分析】由直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平面B1D1Q．
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，
直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，
∴m∥BD∥B1D1，
∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，
∴m∥平面B1D1Q．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，下列结论正确的是
A．B．平面C．平面D．平面
【分析】通过直线与平面平行的判定定理，即可判断正确；由线面的位置关系，即可得到直线在平面内，故错误．
【解答】解：对于，由于为的中点，为的中点，则，故正确；
对于，由于，平面，平面，则平面，故正确；
对于，由于，平面，平面，则平面，故正确；
对于，由于平面，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查线面平行的判定定理及运用，考查直线与平面的位置关系，属于中档题．
3．在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是AB、AD的中点，将△AEF沿EF折起到△A′EF的位置，使得A'C=23，在平面A′BC内，过点B作BG∥平面A′EF交边A′C上于点G，则A′G＝（ ）
A．33B．233C．3D．433
【分析】需要通过面面平行实现线面平行
【解答】解
如图，在△A′HC中做OG∥A′H交A′C于G，
OG⊄平面AEF，A′H⊂平面AEF
∴OG∥平面A′EF
同理可知OB∥平面A′EF
又OG∩OB＝O
∴平面OGB∥平面A′EF
∴GB∥平面A′EF
易知CO：CH＝CG：CA′＝2：3，
∴A′G═13A'C=233，
故选：B．
【点评】本题考查线线平行，线面平行，面面平行等知识，难度适中．
4．如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC的四个面中，直角三角形的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】AB是圆O的直径，得出三角形ABC是直角三角形，由于PA垂直于圆O所在的平面，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，可以证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决．
【解答】证明：∵AB是圆O的直径
∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形
又∵PA⊥圆O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
且BC在这个平面内，
∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC，
∴△PBC是直角三角形．
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．
故选：A．
【点评】本题考查面面垂直的判定定理的应用，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直．
5．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E=23A1D，AF=13AC，则（ ）
A．EF至多与A1D、AC之一垂直
B．EF与A1D、AC都垂直
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
【分析】连接D1E，BF，根据A1E=23A1D，AF=13AC，判断D1E，BF交与同一点M，再根据成比例线段证明EF∥D1B，由D1B⊥AC，D1B⊥A1D证明EF与A1D、AC都垂直．
【解答】解：如图所示；
连接D1E，与AD交与M点处，因为A1E=23A1D，所以DM=12A1D1=12AD，
所以M为AD中点，
连接BF，交AD与N点，因为AF=13AC，所以AN=12BC=12AD，
所以N为AD中点，
所以M，N重合；且MEED1=MFFB=12，所以EF∥D1B，
又AC⊥平面DD1B，所以AC⊥BD1，
所以AC⊥EF，
同理，A1D⊥EF，
所以EF与A1D、AC都垂直，且相交，
∴B正确，A、EF至多与A1D、AC之一垂直错误，
C、EF与BD1相交错误，D、EF与BD1异面错误．
故选：B．
【点评】本题考查了立体几何中线线平行与垂直的判断问题，是综合性问题．
二．填空题（共2小题）
6．如图，矩形ABCD的长AB＝2，宽AD＝x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是 0＜x≤1 ．
【分析】依据三垂线定理，要使PQ⊥BQ，必须有AQ⊥BQ，即以AB为直径的圆应与CD有公共点即可，从而可求x的范围．
【解答】解：∵PA⊥平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，
∴PA⊥BQ；
要使PQ⊥BQ，依三垂线定理得，必须有AQ⊥BQ，而Q为矩形的边CD上的一个点，
∴以AB为直径的圆应与CD有公共点，
∵AB＝2，宽AD＝x，
∴0＜x≤1．
故答案为：0＜x≤1．
【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
7．如图，下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出I垂直于平面MNP的图形的序号是 ①④⑤ ．
【分析】设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，根据M，N分别为中点，判断出MN∥AC，由四边形ABCD为正方形，判断出AC⊥BD进而根据DD′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，判断出DD′⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理推断出AC⊥平面DBB′，根据线面垂直的性质可知AC⊥DB′，利用线面垂直的判定定理推断出由MN∥AC，推断出DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，利用线面垂直的判定定理推断出DB′⊥平面MNF．④中由①中证明可知I⊥MP，根据MN∥AC，AC⊥I，推断出I⊥MN，进而根据线面垂直的判定定理推断出I⊥平面MNP，同理可证明⑤中I⊥平面MNP．
【解答】解：设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，
∵M，N分别为中点，
∴MN∥AC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∵BB′∩DB′＝B，BB′⊂平面DBB′，AC⊂平面DBB′，
∴AC⊥平面DBB′，
∵DB′⊂平面DBB′，
∴AC⊥DB′，
∵MN∥AC，
∴DB′⊥MN，
同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，
∵MF∩NF＝F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，
∴DB′⊥平面MNF，即I垂直于平面MNP，故①正确．
④中由①中证明可知I⊥MP，
∵MN∥AC，
AC⊥I，
∴I⊥MN，
∴I⊥平面MNP，
同理可证明⑤中I⊥平面MNP．
故答案为：①④⑤
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理．考查了学生空间思维能力和观察能力．

线面平行
面面平行
判定
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
符号语言
图形语言
性质
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
符号语言


图形语言

线面垂直
面面垂直
判定
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
性质
定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
其他性质：
（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线．
（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；
（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
（4）垂直于同一直线的两个平面平行．
（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
定理可简记为：面面垂直线面垂直
（2）定理：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面．