专题08 导数的恒成立与能成立-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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一、导数的恒成立问题
1. ∀x∈(a​​​，b)，f(x)>k恒成立⇔f(x)min>k
2. ∀x∈(a​​​，​b)，f(x)>g(x)恒成立⇔[f(x)−gx]min>0
3. ∀x1​​​，​x2∈(a​​​，​b)，f(x1)>g(x2)恒成立⇔f(x)min>g(x)max
4. ∀x∈(a​​​，b)，f(x)5. ∀x∈(a​​​，b)，f(x)6. ∀x1​​​，​x2∈(a​​，​b)，f(x1)−f(x2)二、导数的能成立问题
1. x0∈(a​​​，b)，f(x0)>k成立⇔ f(x)max>k
2. x0∈(a​​​，b)，f(x0)>g(x0)成立⇔[f(x)−gx]max>0
3. ∃x1​​​，​x2∈(a​​​，​b)，f(x1)>g(x2)成立⇔f(x)max>g(x)min
4. x0∈(a​​​，b)，f(x0)5. x0∈(a​​​，b)，f(x0)6. ∃x1​​​，​x2∈(a​​​，​b)，f(x1)三、恒成立与能成立综合问题
1. ∀x1​​​，​x2∈(a​​​，​b)，f(x1)2. ∀x1∈(a​​​，​b)，∃x2∈(a​​​，​b)，f(x1)>g(x2)成立⇔f(x)min>g(x)min
3. ∃x1∈(a​​​，​b)，∀x2∈(a​​​，b)，f(x1)>g(x2)成立⇔f(x)max>g(x)max
4. ∀x1∈(a​​​，​b)，∃x2∈(a​​​，​b)，f(x1)=g(x2)成立⇔f(x)maxf(x)min
{y|y=fx​​​，​x∈(a​​​，​b)}⊆{y|y=gx​​​，​x∈(a​​​，b)}
典例精讲
【典例1】不等式，在，上恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【典例2】函数对恒成立，则的取值范围为
A．B．
C．D．
【典例3】已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是
A．（1）B．（2）C．（1）D．
【典例4】若，不等式恒成立，则正实数的取值范围是
A．，B．，C．D．
【典例5】已知函数，．
（1）若是的极值点，求函数的单调性；
（2）若时，，求的取值范围．
【典例6】已知函数．
（1）若有极值，求的取值范围；
（2）当在处取得极值时，对于，内的任意两个值，，都有．
【典例7】若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【典例8】已知：函数（其中常数．
（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间；
（Ⅱ）若存在实数，，使得不等式成立，求的取值范围．
【典例9】已知函数．
（1）若，求函数的极小值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在区间，上存在一点，使得成立，求的取值范围，
【典例10】已知是函数的导函数．
（1）求不等式的解集；
（2）如果对于任意的，，总成立，求实数的取值范围．
【典例11】已知函数．
（1）证明：当时，在，上单调递增；
（2）当时，不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【典例12】已知函数，其中为正实数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，若存在，，使得不等式成立，求的取值范围．
【典例13】已知函数．
（1）证明：当时，在，上单调递增；
（2）当时，不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．，，
C．，，D．，，
2．若不等式对，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
二．解答题（共2小题）
3．已知函数．
（1）若有三个不同的零点，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
4．已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）对于任意的，，，恒成立，求的取值范围.