九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质优秀教案

第二十七章  相似

27.2  相似三角形

27.2.2 相似三角形的性质

【知识与技能】

　1.掌握相似三角形的性质,了解相似三角形性质的证明.

　2.能应用相似三角形的性质进行有关角、线段、周长、面积等有关计算.

【过程与方法】

　1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会如何探索研究问题.

　2.利用相似三角形的性质解决问题,培养学生的创新意识.

【情感态度与价值观】

　1.在探索相似三角形性质的过程中,培养学生合作交流能力.

　2.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.

　相似三角形的各条性质定理的探索及应用.

　相似三角形性质的归纳推理.

多媒体课件.

导入一:

　【复习提问】　

　(1)什么叫相似三角形?判定方法有哪些?

　(2)相似三角形有哪些基本特征?

　(3)除了这些基本特征外,还有什么性质呢?

导入二:

小华做小孔成像实验,如图,已知蜡烛与成像面间的距离为l,蜡烛与成像面间的小孔纸板放在何处时,蜡烛火焰AB是像A'B'的一半长?

导入三:

　某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边BC的长由原来的30米变为18米.那么被削去的部分面积有多少?你能解决这个问题吗?

　[设计意图]　通过知识的复习和问题情景的思考,帮助学生认识相似形的性质是对相似形内容学习的深化.

　　[过渡语]　三角形中有各种各样的几何量,例如三条边的长度,三个内角的度数,高、中线、角平分线的长度以及周长、面积等,如果两个三角形相似,那么它们的这些量之间有什么关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论.

一、相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系

　思路一

　如图,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,其相似比为===k,其中AD,A'D'分别是边BC和B'C'上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系呢?

　(1)图中的△ABD和△A'B'D'相似吗?如何证明?

　(2)由相似三角形的对应边成比例,你能得到的值吗?

　(3)写出你的解答过程.

　(4)你能叙述你得到的结论吗?

　【师生活动】　学生独立思考后,完成书写过程,小组合作交流解答过程及结论,小组代表板书,教师及时帮助有困难的学生,并补充完成证明过程.

　【课件展示】　相似三角形对应高的比等于相似比.

　如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高.求证:=k.

　证明:∵△ABC∽△A'B'C',

　∴∠B=∠B'.

　又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形,

　∴△ABD∽△A'B'D',

　∴==k.

　【追加提问】

　(1)能去掉性质中的对应两个字吗?

　(2)你能用同样的方法证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的性质吗?

　【师生活动】　学生思考后小组合作交流,然后小组代表口述证明过程,师生共同补充完整,然后共同归纳相似三角形的性质.

　【课件展示】　相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

　即相似三角形对应线段的比等于相似比.

　　　思路二

　【动手操作】　

　(1)测量如图的相似三角形,并得出△ABC与△A'B'C'的相似比.

　(2)分别过点A作AD⊥BC,A'D'⊥B'C',垂足为D,D'.

　(3)测量两个三角形的高AD与A'D',求出的值.

　(4)猜想:相似三角形对应高的比与相似比之间的关系.

　(5)证明你的猜想.

　【师生活动】　学生测量比较后,小组合作交流结果、猜想及证明,小组代表板书过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,并及时发现问题,在点评时强调易错点.

　【课件展示】　相似三角形对应高的比等于相似比.(证明过程同思路一)

　【追加提问】　你能用同样的方法证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的性质吗?

　【师生活动】　学生思考后小组合作交流,然后小组代表口述证明过程,师生共同补充完整,然后共同归纳相似三角形的性质.

　【课件展示】　相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

　即相似三角形对应线段的比等于相似比.

　[设计意图]　思路一:在教师的引导下,由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用三角形相似的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比；思路二:通过测量,作出猜想,然后小组交流,完成猜想的证明.通过学生的自主探究,完成知识的形成过程,提高学生的数学思维和解决问题的能力.

二、相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系

　　[过渡语]　全等三角形的周长相等,面积也相等,那么相似三角形的周长和面积有什么关系呢?我们一起去探究!

　活动一

　如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,AC=3,BC=4,AB=5,A'C'=6,B'C'=8,A'B'=10.

　【思考】

　(1)两个直角三角形相似吗?

　(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?

　(3)再计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?

　【师生活动】　学生独立完成后回答教师提出的问题.

　活动二

　(1)任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?

　(2)证明你的结论.

　(3)任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?

　(4)证明你的结论.

　【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并点评学生的解答.

　【课件展示】　相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.

　如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高.求证：=k,=k2.

　证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为k,

　∴===k,=k,

　∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.

　∴=

　==k,

==·=k2.

　活动三

　你能归纳总结相似三角形的性质吗?你能应用这些性质解决哪些问题?

　【课件展示】　相似三角形的性质:

　(1)相似三角形的对应边成比例；

　(2)相似三角形的对应角相等；

　(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比；

　(4)相似三角形的周长比等于相似比；

　(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

　[设计意图]　通过小组合作交流,探究三角形的性质,培养学生的合作意识和严谨的学习态度,同时培养学生的归纳总结能力,证明的过程中利用相似三角形对应高的比等于相似比,既巩固了刚学的知识,又学会了直接使用性质解决问题.

三、例题讲解

　　[过渡语]　我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题,我们一起尝试解决下列问题.

　　如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为12,求△DEF的边EF上的高和面积.

　【思考】

　(1)由已知AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,你能得到△ABC和△DEF的关系吗?说明理由.

　(2)已知一个三角形一边上的高和面积,如何求解另一个三角形对应边上的高和面积?

　【提示】　由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC和△DEF相似；相似三角形对应高的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.

　【师生活动】　学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案,小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程.

　解:在△ABC和△DEF中,

　∵AB=2DE,AC=2DF,

　∴==.

　又∠A=∠D,

　∴△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为.

　∵△ABC的边BC上的高为6,面积为12,

　∴△DEF的边EF上的高为×6=3,面积为×12=3.

　[设计意图]　通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学生学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问题的能力.

　[知识拓展]　相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等.

　1.相似三角形的判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.

　2.直角三角形相似的判定方法:一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似.

　27.2.2　相似三角形的性质

　1.相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系

　2.相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系

　3.例题讲解

　例题

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图,AB∥CD,=,则△AOB的周长与△DOC的周长比是　　(　　)

A.　　B.C.　　D.

2.若两个相似三角形面积的比为1∶5,则它们的相似比为　　(　　)

A.1∶25　　B.1∶5　　C.1∶2.5　　D.1∶

3.如图,在▱ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F,则△EDF与△BCF的周长之比是　　(　　)

A.1∶2　　B.1∶3　　C.1∶4　　D.1∶5

4.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是　　(　　)

A.=　　B.=C.=　　D.=

5.△ABC∽△A'B'C',且相似比是3∶4,△ABC的面积是27 cm2,则△A'B'C'的面积为　cm2. 

6.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为　　　　. 

7.如图,把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离AA'=　　　　. 

8.如图,若BC∥DE,=,S△ABC=4,求S四边形DBCE的值.

【能力提升】

9.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则=　　　　. 

10.在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点,AD=4,在AB上取一点E,得到△ADE,若这两个三角形相似,则它们的周长之比是　　　　. 

11.如图,顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于k,这样的三角形叫黄金三角形.已知腰长AB=1,△ABC为第一个黄金三角形,△BCD为第二个黄金三角形,△CDE为第三个黄金三角形,…,以此类推,第2018个黄金三角形的周长为　　　　. 

12.如图,在▱ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.

(1)求证：△ABF∽△CEB.

(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.

【拓展探究】

13.如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A,B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作ME⊥y轴于点E,连接BE交MN于点F,已知点A的坐标为(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)求△EMF与△BNF的面积之比.

【答案与解析】

1.D解析:∵AB∥CD,∴△AOB∽△DOC,∴△AOB与△DOC的周长比等于相似比.∵=,

∴△AOB与△DOC的周长比是.故选D.

2.D解析:由相似三角形的面积比等于相似比的平方,得它们的相似比是1∶.故选D.

3.A解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴△EDF∽△BCF,∴△EDF与

△BCF的周长之比为.∵E是AD边上的中点,∴AD=2DE.∵AD=BC,∴BC=2DE,∴△EDF与

△BCF的周长之比为1∶2.故选A.

4.C解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴==.∵=,∴===,故A,B选项均错误.∵△ADE∽△ABC,∴==,==,故C选项正确,D选项错误.故选C.

5.48解析:∵△ABC∽△A'B'C',且相似比是3∶4,∴△ABC与△A'B'C'的面积比为9∶16.∵△ABC的面积是27 cm2,∴△A'B'C'的面积为48 cm2.故填48.

6.2∶3解析:∵△ABC∽△DEF ,△ABC 与△DEF的相似比为2∶3, ∴△ABC 与△ DEF 对应边上的中线的比是2∶3.

7.-1解析:如图,设BC与A'C'交于点E.由平移的性质,知AC∥A'C',∴△BEA'∽△BCA,∴S△BEA'∶S△BCA==1∶2.∵AB=,∴A'B=1,∴AA'=AB-A'B=-1.

8.解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴=.∵=,∴=.又∵S△ABC=4,∴S△ADE=,∴S四边形DBCE=.

9.解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴=.∵S△ADE=S四边形BCED，∴=,即=,∴==.

10.或解析:当AD与AB对应时,相似比为,所以周长比为；当AD与AC对应时,相似比为=,所以周长比为.故填或.

11.k2018(2+k)解析:∵AB=AC=1,∴△ABC的周长为2+k,△BCD的周长为k+k+k2=k(2+k),

△CDE的周长为k2+k2+k3=k2(2+k),…,依次类推,第2018个黄金三角形的周长为 k2018·(2+k).

12. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽

△CEB.　

（2）解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB平行且等于CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴==,==.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四边形BCDF=

S△BCE-S△DEF=16.∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.

13. 解:(1)由题意可得-(-1)2+2×(-1)+c=0,解得c=3,∴y=-x2+2x+3.

∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点M(1,4).　

(2)∵A(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴点B(3,0),∴EM=1,BN=2.∵EM∥BN,∴△EMF∽△BNF,∴==.

　本节课以解决物理知识和生活实际问题导入新课,激发学生探索新知识的兴趣,通过复习全等三角形的性质及相似三角形的判定,在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知.本节课的重点是探索相似三角形的性质,教学中不是直接给出结论让学生证明,而是在探索活动中,学生在教师提出的层层深入的问题引导下,经历测量、猜想、验证等活动,归纳总结出相似三角形的有关性质,并能应用性质解决问题,课堂上学生积极开展小组合作学习,交流探索新知,并且在不断探索中学会创造性学习,培养学生的探索和创新能力,同时提高数学思考、分析和探究活动能力.

　本节课对于证明相似三角形的对应线段的比等于相似比的问题,教学设计时教师引导证明对应高的比等于相似比,剩下两个由学生之间交流,类比说出思路和过程,起到复习巩固的目的.但是由于自己放不开手,怕学生不会,在学生说时一再仔细强调导致最后时间不充分,应该更大胆一些,放开一些,让学生有更大的思维空间,达到“授之以渔”的目的.